Analysis Beispiele

$\int x (x^{2} - 2) \cdot 15 d x$

Schritt 1

Bringe $15$ auf die linke Seite von $x (x^{2} - 2)$ .

$\int 15 x (x^{2} - 2) d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2} - 2$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2} - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 15 u \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $15$ .

$\int \frac{15}{2} u d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{15}{2}$ und $u$ .

$\int \frac{15 u}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{15}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{15}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{15}{2} \int u d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{15}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{15}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ als $\frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ um.

$\frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{15}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{15}{2 \cdot 2} u^{2} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{15}{4} u^{2} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 2$ .

$\frac{15}{4} {(x^{2} - 2)}^{2} + C$