Analysis Beispiele

$x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3} = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 - 4 y' + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2} y')$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 9 y^{2} y'$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} + 9 y^{2} y' + 1 - 4 y'$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 9 y^{2} y' + 1 - 4 y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} y' + 1 - 4 y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} y' - 4 y' = - 3 x^{2} - 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $9 y^{2} y' - 4 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $9 y^{2} y'$ heraus.

$y' (9 y^{2}) - 4 y' = - 3 x^{2} - 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 y'$ heraus.

$y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4 = - 3 x^{2} - 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4$ heraus.

$y' (9 y^{2} - 4) = - 3 x^{2} - 1$

Schritt 5.3

Schreibe $9 y^{2}$ als ${(3 y)}^{2}$ um.

$y' ({(3 y)}^{2} - 4) = - 3 x^{2} - 1$

Schritt 5.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y' ({(3 y)}^{2} - 2^{2}) = - 3 x^{2} - 1$

Schritt 5.5

Faktorisiere.

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Schritt 5.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 y$ und $b = 2$ .

$y' ((3 y + 2) (3 y - 2)) = - 3 x^{2} - 1$

Schritt 5.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$ durch $(3 y + 2) (3 y - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$ durch $(3 y + 2) (3 y - 2)$ .

$\frac{y' (3 y + 2) (3 y - 2)}{(3 y + 2) (3 y - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y + 2$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y + 2) (3 y - 2)}{(3 y + 2) (3 y - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Schritt 5.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y - 2$ .

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Schritt 5.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Schritt 5.6.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Schritt 5.6.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} - \frac{1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} - \frac{1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$