Analysis Beispiele

$\frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{2}{15}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{15} x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{2}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{15}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{12}{15}$ und $x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $15$ .

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Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{5}$ heraus.

$\frac{3 (4 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 3 (4 x^{3})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{5}}{5} - 12 x^{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4 x^{5}}{5} - 12 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{4}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{5}}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{20}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $5$ .

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $20 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.2.6.2.4

Dividiere $4 x^{4}$ durch $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{4} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{4} - 12 (3 x^{2})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 12$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} - 36 x^{2}$