Analysis Beispiele

Ermittle den Maximum-/Minimumwert f(x)=-x^4+3x^2+2x
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.4.2
Addiere und .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.1.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.2
Faktorisiere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.2.1
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.2.1.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 5.2.2.1.2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 5.2.2.1.3
Setze ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.2.1.3.1
Setze in das Polynom ein.
Schritt 5.2.2.1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 5.2.2.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.2.1.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.2.1.3.5
Addiere und .
Schritt 5.2.2.1.3.6
Subtrahiere von .
Schritt 5.2.2.1.4
Da eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.
Schritt 5.2.2.1.5
Dividiere durch .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.2.1.5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
++--
Schritt 5.2.2.1.5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
++--
Schritt 5.2.2.1.5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
++--
++
Schritt 5.2.2.1.5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
++--
--
Schritt 5.2.2.1.5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
++--
--
-
Schritt 5.2.2.1.5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
++--
--
--
Schritt 5.2.2.1.5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-
++--
--
--
Schritt 5.2.2.1.5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-
++--
--
--
--
Schritt 5.2.2.1.5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-
++--
--
--
++
Schritt 5.2.2.1.5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-
++--
--
--
++
-
Schritt 5.2.2.1.5.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
-
++--
--
--
++
--
Schritt 5.2.2.1.5.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
--
++--
--
--
++
--
Schritt 5.2.2.1.5.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
--
++--
--
--
++
--
--
Schritt 5.2.2.1.5.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
--
++--
--
--
++
--
++
Schritt 5.2.2.1.5.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
--
++--
--
--
++
--
++
Schritt 5.2.2.1.5.16
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 5.2.2.1.6
Schreibe als eine Menge von Faktoren.
Schritt 5.2.2.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 5.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 5.4
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.4.1
Setze gleich .
Schritt 5.4.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.5
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.1
Setze gleich .
Schritt 5.5.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.1
Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.
Schritt 5.5.2.2
Setze die Werte , und in die Quadratformel ein und löse nach auf.
Schritt 5.5.2.3
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.3.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.3.1.1
Potenziere mit .
Schritt 5.5.2.3.1.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.3.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.2.3.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.2.3.1.3
Addiere und .
Schritt 5.5.2.3.1.4
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.3.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.5.2.3.1.4.2
Schreibe als um.
Schritt 5.5.2.3.1.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 5.5.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.2.3.3
Vereinfache .
Schritt 5.5.2.4
Vereinfache den Ausdruck, um nach dem -Teil von aufzulösen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.4.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.4.1.1
Potenziere mit .
Schritt 5.5.2.4.1.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.4.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.2.4.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.2.4.1.3
Addiere und .
Schritt 5.5.2.4.1.4
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.4.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.5.2.4.1.4.2
Schreibe als um.
Schritt 5.5.2.4.1.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 5.5.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.2.4.3
Vereinfache .
Schritt 5.5.2.4.4
Ändere das zu .
Schritt 5.5.2.5
Vereinfache den Ausdruck, um nach dem -Teil von aufzulösen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.5.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.5.1.1
Potenziere mit .
Schritt 5.5.2.5.1.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.5.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.2.5.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.2.5.1.3
Addiere und .
Schritt 5.5.2.5.1.4
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.5.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.5.2.5.1.4.2
Schreibe als um.
Schritt 5.5.2.5.1.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 5.5.2.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.2.5.3
Vereinfache .
Schritt 5.5.2.5.4
Ändere das zu .
Schritt 5.5.2.6
Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.
Schritt 5.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 6
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.1
Potenziere mit .
Schritt 9.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Addiere und .
Schritt 10
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 11
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1.1.1
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1.1.1.1
Potenziere mit .
Schritt 11.2.1.1.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 11.2.1.1.2
Addiere und .
Schritt 11.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 11.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 11.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.2.1
Addiere und .
Schritt 11.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 11.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 13.1.2
Potenziere mit .
Schritt 13.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 13.1.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 13.1.3.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 13.1.4
Schreibe als um.
Schritt 13.1.5
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1.5.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 13.1.5.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 13.1.5.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 13.1.6
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1.6.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1.6.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.1.6.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.1.6.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.1.6.1.4
Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.
Schritt 13.1.6.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.1.6.1.6
Schreibe als um.
Schritt 13.1.6.1.7
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 13.1.6.2
Addiere und .
Schritt 13.1.6.3
Addiere und .
Schritt 13.1.7
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 13.1.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.1.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2
Addiere und .
Schritt 14
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 15
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 15.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 15.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 15.2.1.3
Wende den binomischen Lehrsatz an.
Schritt 15.2.1.4
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.4.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 15.2.1.4.2
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 15.2.1.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.1.4.4
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 15.2.1.4.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.1.4.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 15.2.1.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 15.2.1.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 15.2.1.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 15.2.1.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 15.2.1.4.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 15.2.1.4.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.1.4.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.1.4.9
Schreibe als um.
Schritt 15.2.1.4.10
Potenziere mit .
Schritt 15.2.1.4.11
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.4.11.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.1.4.11.2
Schreibe als um.
Schritt 15.2.1.4.12
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 15.2.1.4.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.1.4.14
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.4.14.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 15.2.1.4.14.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 15.2.1.4.14.3
Kombiniere und .
Schritt 15.2.1.4.14.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.4.14.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.1.4.14.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.4.14.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.1.4.14.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 15.2.1.4.14.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 15.2.1.4.14.4.2.4
Dividiere durch .
Schritt 15.2.1.4.15
Potenziere mit .
Schritt 15.2.1.5
Addiere und .
Schritt 15.2.1.6
Addiere und .
Schritt 15.2.1.7
Addiere und .
Schritt 15.2.1.8
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.8.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.1.8.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.1.8.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.1.8.4
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.8.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.1.8.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 15.2.1.8.4.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 15.2.1.9
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 15.2.1.10
Potenziere mit .
Schritt 15.2.1.11
Schreibe als um.
Schritt 15.2.1.12
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.12.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 15.2.1.12.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 15.2.1.12.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 15.2.1.13
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.13.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.13.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.1.13.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.1.13.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.1.13.1.4
Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.
Schritt 15.2.1.13.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.1.13.1.6
Schreibe als um.
Schritt 15.2.1.13.1.7
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 15.2.1.13.2
Addiere und .
Schritt 15.2.1.13.3
Addiere und .
Schritt 15.2.1.14
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.14.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.1.14.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.1.14.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.1.14.4
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.14.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.1.14.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 15.2.1.14.4.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 15.2.1.15
Kombiniere und .
Schritt 15.2.1.16
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.16.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 15.2.1.16.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 15.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 15.2.3
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 15.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.5.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 15.2.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.5.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 15.2.5.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.5.6
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 15.2.5.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.5.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.5.9
Addiere und .
Schritt 15.2.5.10
Addiere und .
Schritt 15.2.6
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.6.1
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 15.2.6.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 15.2.6.3
Addiere und .
Schritt 15.2.7
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 15.2.8
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.8.1
Kombiniere und .
Schritt 15.2.8.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 15.2.9
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.9.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 15.2.9.2
Addiere und .
Schritt 15.2.10
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 16
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 17
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 17.1.2
Potenziere mit .
Schritt 17.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.1.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 17.1.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 17.1.3.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 17.1.4
Schreibe als um.
Schritt 17.1.5
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.1.5.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 17.1.5.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 17.1.5.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 17.1.6
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.1.6.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.1.6.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.1.6.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.1.6.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.1.6.1.4
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.1.6.1.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.1.6.1.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.1.6.1.4.3
Potenziere mit .
Schritt 17.1.6.1.4.4
Potenziere mit .
Schritt 17.1.6.1.4.5
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 17.1.6.1.4.6
Addiere und .
Schritt 17.1.6.1.5
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.1.6.1.5.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 17.1.6.1.5.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 17.1.6.1.5.3
Kombiniere und .
Schritt 17.1.6.1.5.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.1.6.1.5.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 17.1.6.1.5.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 17.1.6.1.5.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 17.1.6.2
Addiere und .
Schritt 17.1.6.3
Subtrahiere von .
Schritt 17.1.7
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 17.1.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.1.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.2
Addiere und .
Schritt 18
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 19
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 19.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 19.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 19.2.1.3
Wende den binomischen Lehrsatz an.
Schritt 19.2.1.4
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.4.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 19.2.1.4.2
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 19.2.1.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.4.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.4.5
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 19.2.1.4.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.4.7
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 19.2.1.4.8
Potenziere mit .
Schritt 19.2.1.4.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.4.10
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.4.10.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 19.2.1.4.10.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 19.2.1.4.10.3
Kombiniere und .
Schritt 19.2.1.4.10.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.4.10.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 19.2.1.4.10.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 19.2.1.4.10.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 19.2.1.4.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.4.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.4.13
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 19.2.1.4.14
Potenziere mit .
Schritt 19.2.1.4.15
Schreibe als um.
Schritt 19.2.1.4.16
Potenziere mit .
Schritt 19.2.1.4.17
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.4.17.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 19.2.1.4.17.2
Schreibe als um.
Schritt 19.2.1.4.18
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 19.2.1.4.19
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.4.20
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.4.21
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 19.2.1.4.22
Potenziere mit .
Schritt 19.2.1.4.23
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.4.24
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.4.24.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 19.2.1.4.24.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 19.2.1.4.24.3
Kombiniere und .
Schritt 19.2.1.4.24.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.4.24.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 19.2.1.4.24.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.4.24.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 19.2.1.4.24.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 19.2.1.4.24.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 19.2.1.4.24.4.2.4
Dividiere durch .
Schritt 19.2.1.4.25
Potenziere mit .
Schritt 19.2.1.5
Addiere und .
Schritt 19.2.1.6
Addiere und .
Schritt 19.2.1.7
Subtrahiere von .
Schritt 19.2.1.8
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.8.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 19.2.1.8.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 19.2.1.8.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 19.2.1.8.4
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.8.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 19.2.1.8.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 19.2.1.8.4.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 19.2.1.9
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 19.2.1.10
Potenziere mit .
Schritt 19.2.1.11
Schreibe als um.
Schritt 19.2.1.12
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.12.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 19.2.1.12.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 19.2.1.12.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 19.2.1.13
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.13.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.13.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.13.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.13.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.13.1.4
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.13.1.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.13.1.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.13.1.4.3
Potenziere mit .
Schritt 19.2.1.13.1.4.4
Potenziere mit .
Schritt 19.2.1.13.1.4.5
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 19.2.1.13.1.4.6
Addiere und .
Schritt 19.2.1.13.1.5
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.13.1.5.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 19.2.1.13.1.5.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 19.2.1.13.1.5.3
Kombiniere und .
Schritt 19.2.1.13.1.5.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.13.1.5.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 19.2.1.13.1.5.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 19.2.1.13.1.5.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 19.2.1.13.2
Addiere und .
Schritt 19.2.1.13.3
Subtrahiere von .
Schritt 19.2.1.14
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.14.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 19.2.1.14.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 19.2.1.14.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 19.2.1.14.4
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.14.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 19.2.1.14.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 19.2.1.14.4.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 19.2.1.15
Kombiniere und .
Schritt 19.2.1.16
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.16.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 19.2.1.16.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 19.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 19.2.3
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 19.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.5.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 19.2.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.5.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 19.2.5.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.5.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.5.7
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 19.2.5.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.5.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.5.10
Addiere und .
Schritt 19.2.5.11
Subtrahiere von .
Schritt 19.2.6
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.6.1
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 19.2.6.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 19.2.6.3
Addiere und .
Schritt 19.2.7
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 19.2.8
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.8.1
Kombiniere und .
Schritt 19.2.8.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 19.2.9
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.9.2
Subtrahiere von .
Schritt 19.2.10
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 20
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
Schritt 21