Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{{(- 4 + x)}^{2} - 16}{- 2 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{- 2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{{(- 4 + x)}^{2} - 16}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(- 4 + x)}^{2} - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(- 4 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(- 4 + x)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} - 4 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- lim_{x \to 0} 4 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 1 \cdot 4 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 1 \cdot 4 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 1 \cdot 4 + 0)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 4 + 0)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Addiere $- 4$ und $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.1.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{{(- 4 + x)}^{2} - 16}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(- 4 + x)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(- 4 + x)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Schreibe ${(- 4 + x)}^{2}$ als $(- 4 + x) (- 4 + x)$ um.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(- 4 + x) (- 4 + x) - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $(- 4 + x) (- 4 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x) - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x) - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.4.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 - 4 x - 4 x + x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 - 8 x + x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 - 8 x + x^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Schritt 2.3.7.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.9

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.10

Vereinfache.

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Schritt 2.3.10.1

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.10.1.1

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.10.1.2

Addiere $- 8 + 2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.10.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 8}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 8}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $2 x - 8$ durch $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} 2 x - 8$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{- 2} (lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 8)$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 2} (2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 8)$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{- 2} (2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 8)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 8)$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 8)$

Schritt 5.3

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 8$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2} \cdot - 8$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 4))$

Schritt 5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 4)$

Schritt 5.4.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot - 4$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$4$