Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} (4 x^{2} + \sqrt{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} + \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $4$ und $1$ .

$4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Schritt 7.2

Berechne $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $4$ und $1$ .

$4 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$4 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{64 - 1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.4

Subtrahiere $1$ von $64$ .

$4 (\frac{63}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $63$ und $3$ .

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Schritt 7.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $63$ heraus.

$4 \frac{3 \cdot 21}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$4 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{21}{1}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.5.2.4

Dividiere $21$ durch $1$ .

$4 \cdot 21 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $21$ .

$84 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$84 + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$84 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$84 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.9.2

Forme den Ausdruck um.

$84 + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.10

Potenziere $2$ mit $3$ .

$84 + \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.11

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $8$ .

$84 + \frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$84 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$84 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 7.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$84 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 7.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$84 + \frac{16 - 2}{3}$

Schritt 7.3.16

Subtrahiere $2$ von $16$ .

$84 + \frac{14}{3}$

Schritt 7.3.17

Um $84$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$84 \cdot \frac{3}{3} + \frac{14}{3}$

Schritt 7.3.18

Kombiniere $84$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{84 \cdot 3}{3} + \frac{14}{3}$

Schritt 7.3.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{84 \cdot 3 + 14}{3}$

Schritt 7.3.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.20.1

Mutltipliziere $84$ mit $3$ .

$\frac{252 + 14}{3}$

Schritt 7.3.20.2

Addiere $252$ und $14$ .

$\frac{266}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{266}{3}$

Dezimalform:

$88.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$88 \frac{2}{3}$

Schritt 9