Analysis Beispiele

$p (x) = (x - 7) (x + 4) (x - 2)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = (x - 7) (x + 4)$ und $g (x) = x - 2$ .

$(x - 7) (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x - 7) (x + 4)]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 7) (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x - 7) (x + 4)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 7) (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x - 7) (x + 4)]$

Schritt 1.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 7) (x + 4) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x - 7) (x + 4)]$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 7) (x + 4) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x - 7) (x + 4)]$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $x - 7$ mit $1$ .

$(x - 7) (x + 4) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x - 7) (x + 4)]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 7$ und $g (x) = x + 4$ .

$(x - 7) (x + 4) + (x - 2) ((x - 7) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 7])$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 7) (x + 4) + (x - 2) ((x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 7])$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 7) (x + 4) + (x - 2) ((x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 7])$

Schritt 1.4.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 7) (x + 4) + (x - 2) ((x - 7) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 7])$

Schritt 1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 7) (x + 4) + (x - 2) ((x - 7) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 7])$

Schritt 1.4.4.2

Mutltipliziere $x - 7$ mit $1$ .

$(x - 7) (x + 4) + (x - 2) (x - 7 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 7])$

Schritt 1.4.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$(x - 7) (x + 4) + (x - 2) (x - 7 + (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Schritt 1.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 7) (x + 4) + (x - 2) (x - 7 + (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Schritt 1.4.7

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 7) (x + 4) + (x - 2) (x - 7 + (x + 4) (1 + 0))$

Schritt 1.4.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.4.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 7) (x + 4) + (x - 2) (x - 7 + (x + 4) \cdot 1)$

Schritt 1.4.8.2

Mutltipliziere $x + 4$ mit $1$ .

$(x - 7) (x + 4) + (x - 2) (x - 7 + x + 4)$

Schritt 1.4.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$(x - 7) (x + 4) + (x - 2) (2 x - 7 + 4)$

Schritt 1.4.8.4

Addiere $- 7$ und $4$ .

$(x - 7) (x + 4) + (x - 2) (2 x - 3)$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 7) x + (x - 7) \cdot 4 + (x - 2) (2 x - 3)$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 7 x + (x - 7) \cdot 4 + (x - 2) (2 x - 3)$

Schritt 1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 7 x + x \cdot 4 - 7 \cdot 4 + (x - 2) (2 x - 3)$

Schritt 1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 7 x + x \cdot 4 - 7 \cdot 4 + (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 3$

Schritt 1.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 7 x + x \cdot 4 - 7 \cdot 4 + x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 3$

Schritt 1.5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 7 x + x \cdot 4 - 7 \cdot 4 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3$

Schritt 1.5.7

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.7.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x - 7 x + x \cdot 4 - 7 \cdot 4 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3$

Schritt 1.5.7.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{1} - 7 x + x \cdot 4 - 7 \cdot 4 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3$

Schritt 1.5.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 1} - 7 x + x \cdot 4 - 7 \cdot 4 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3$

Schritt 1.5.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} - 7 x + x \cdot 4 - 7 \cdot 4 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3$

Schritt 1.5.7.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 7 x + 4 \cdot x - 7 \cdot 4 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3$

Schritt 1.5.7.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$x^{2} - 7 x + 4 x - 28 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3$

Schritt 1.5.7.7

Addiere $- 7 x$ und $4 x$ .

$x^{2} - 3 x - 28 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3$

Schritt 1.5.7.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - 3 x - 28 + 2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3$

Schritt 1.5.7.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - 3 x - 28 + 2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3$

Schritt 1.5.7.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} - 3 x - 28 + 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3$

Schritt 1.5.7.11

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} - 3 x - 28 + 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3$

Schritt 1.5.7.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x^{2} - 3 x - 28 + 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3$

Schritt 1.5.7.13

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 3 x - 28 + 2 x^{2} - 4 x - 3 \cdot x - 2 \cdot - 3$

Schritt 1.5.7.14

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$x^{2} - 3 x - 28 + 2 x^{2} - 4 x - 3 x + 6$

Schritt 1.5.7.15

Subtrahiere $3 x$ von $- 4 x$ .

$x^{2} - 3 x - 28 + 2 x^{2} - 7 x + 6$

Schritt 1.5.7.16

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 3 x - 28 - 7 x + 6$

Schritt 1.5.7.17

Subtrahiere $7 x$ von $- 3 x$ .

$3 x^{2} - 10 x - 28 + 6$

Schritt 1.5.7.18

Addiere $- 28$ und $6$ .

$3 x^{2} - 10 x - 22$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ und löse für $x$ .

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Schritt 2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 10$ und $c = - 22$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 22)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 22}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 22$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 22}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 22$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 264}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.3

Addiere $100$ und $264$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{364}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe $364$ als $2^{2} \cdot 91$ um.

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Schritt 2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $364$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (91)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 91}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{91}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{91}}{6}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{91}}{6}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{91}}{3}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 22}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 22$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 22}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 22$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 264}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.3

Addiere $100$ und $264$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{364}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $364$ als $2^{2} \cdot 91$ um.

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Schritt 2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $364$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (91)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 91}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{91}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{91}}{6}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{91}}{6}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{91}}{3}$

Schritt 2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{5 + \sqrt{91}}{3}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 22}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 22$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 22}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 22$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 264}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.3

Addiere $100$ und $264$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{364}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $364$ als $2^{2} \cdot 91$ um.

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Schritt 2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $364$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (91)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 91}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{91}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{91}}{6}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{91}}{6}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{91}}{3}$

Schritt 2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{5 - \sqrt{91}}{3}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + \sqrt{91}}{3}, \frac{5 - \sqrt{91}}{3}$

Schritt 3

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, \frac{5 - \sqrt{91}}{3}) \cup (\frac{5 - \sqrt{91}}{3}, \frac{5 + \sqrt{91}}{3}) \cup (\frac{5 + \sqrt{91}}{3}, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, \frac{5 - \sqrt{91}}{3})$ in die erste Ableitung $3 x^{2} - 10 x - 22$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$p' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 10 \cdot - 4 - 22$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$p' (- 4) = 3 \cdot 16 - 10 \cdot - 4 - 22$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$p' (- 4) = 48 - 10 \cdot - 4 - 22$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 4$ .

$p' (- 4) = 48 + 40 - 22$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $48$ und $40$ .

$p' (- 4) = 88 - 22$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $22$ von $88$ .

$p' (- 4) = 66$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $66$ .

$66$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(\frac{5 - \sqrt{91}}{3}, \frac{5 + \sqrt{91}}{3})$ in die erste Ableitung $3 x^{2} - 10 x - 22$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$p' (0) = 3 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 - 22$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$p' (0) = 3 \cdot 0 - 10 \cdot 0 - 22$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$p' (0) = 0 - 10 \cdot 0 - 22$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $0$ .

$p' (0) = 0 + 0 - 22$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$p' (0) = 0 - 22$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $22$ von $0$ .

$p' (0) = - 22$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 22$ .

$- 22$

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl, wie $7$ , aus dem Intervall $(\frac{5 + \sqrt{91}}{3}, \infty)$ in die erste Ableitung $3 x^{2} - 10 x - 22$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$p' (7) = 3 {(7)}^{2} - 10 \cdot 7 - 22$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$p' (7) = 3 \cdot 49 - 10 \cdot 7 - 22$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $49$ .

$p' (7) = 147 - 10 \cdot 7 - 22$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $7$ .

$p' (7) = 147 - 70 - 22$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $70$ von $147$ .

$p' (7) = 77 - 22$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $22$ von $77$ .

$p' (7) = 55$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $55$ .

$55$

Schritt 7

Da die erste Ableitung um $x = \frac{5 - \sqrt{91}}{3}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ wechselt, gibt es einen Wendepunkt in $x = \frac{5 - \sqrt{91}}{3}$ .

Schritt 8

Ermittle die y-Koordinate von $\frac{5 - \sqrt{91}}{3}$ um den Wendepunkt zu finden.

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Schritt 8.1

Ermittle $p (\frac{5 - \sqrt{91}}{3})$ um die y-Koordinate von $\frac{5 - \sqrt{91}}{3}$ zu finden.

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Schritt 8.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5 - \sqrt{91}}{3}$ .

$p (\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) = ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 7) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2

Vereinfache $((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 7) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$ .

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Schritt 8.1.2.1

Entferne die Klammern.

$((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 7) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.2

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$(\frac{5 - \sqrt{91}}{3} - 7 \cdot \frac{3}{3}) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.3.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{3}{3}$ .

$(\frac{5 - \sqrt{91}}{3} + \frac{- 7 \cdot 3}{3}) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 - \sqrt{91} - 7 \cdot 3}{3} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$\frac{5 - \sqrt{91} - 21}{3} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.4.2

Subtrahiere $21$ von $5$ .

$\frac{- 16 - \sqrt{91}}{3} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.5

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 16 - \sqrt{91}}{3} (\frac{5 - \sqrt{91}}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.6

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.6.1

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 16 - \sqrt{91}}{3} (\frac{5 - \sqrt{91}}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}) ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 16 - \sqrt{91}}{3} \cdot \frac{5 - \sqrt{91} + 4 \cdot 3}{3} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{- 16 - \sqrt{91}}{3} \cdot \frac{5 - \sqrt{91} + 12}{3} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.7.2

Addiere $5$ und $12$ .

$\frac{- 16 - \sqrt{91}}{3} \cdot \frac{17 - \sqrt{91}}{3} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.8

Multipliziere $\frac{- 16 - \sqrt{91}}{3} \cdot \frac{17 - \sqrt{91}}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{- 16 - \sqrt{91}}{3}$ mit $\frac{17 - \sqrt{91}}{3}$ .

$\frac{(- 16 - \sqrt{91}) (17 - \sqrt{91})}{3 \cdot 3} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{(- 16 - \sqrt{91}) (17 - \sqrt{91})}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.9

Multipliziere $(- 16 - \sqrt{91}) (17 - \sqrt{91})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16 (17 - \sqrt{91}) - \sqrt{91} (17 - \sqrt{91})}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16 \cdot 17 - 16 (- \sqrt{91}) - \sqrt{91} (17 - \sqrt{91})}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16 \cdot 17 - 16 (- \sqrt{91}) - \sqrt{91} \cdot 17 - \sqrt{91} (- \sqrt{91})}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.10.1.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $17$ .

$\frac{- 272 - 16 (- \sqrt{91}) - \sqrt{91} \cdot 17 - \sqrt{91} (- \sqrt{91})}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$\frac{- 272 + 16 \sqrt{91} - \sqrt{91} \cdot 17 - \sqrt{91} (- \sqrt{91})}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.1.3

Mutltipliziere $17$ mit $- 1$ .

$\frac{- 272 + 16 \sqrt{91} - 17 \sqrt{91} - \sqrt{91} (- \sqrt{91})}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.1.4

Multipliziere $- \sqrt{91} (- \sqrt{91})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.10.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 272 + 16 \sqrt{91} - 17 \sqrt{91} + 1 \sqrt{91} \sqrt{91}}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{91}$ mit $1$ .

$\frac{- 272 + 16 \sqrt{91} - 17 \sqrt{91} + \sqrt{91} \sqrt{91}}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.1.4.3

Potenziere $\sqrt{91}$ mit $1$ .

$\frac{- 272 + 16 \sqrt{91} - 17 \sqrt{91} + {\sqrt{91}}^{1} \sqrt{91}}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.1.4.4

Potenziere $\sqrt{91}$ mit $1$ .

$\frac{- 272 + 16 \sqrt{91} - 17 \sqrt{91} + {\sqrt{91}}^{1} {\sqrt{91}}^{1}}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 272 + 16 \sqrt{91} - 17 \sqrt{91} + {\sqrt{91}}^{1 + 1}}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 272 + 16 \sqrt{91} - 17 \sqrt{91} + {\sqrt{91}}^{2}}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.1.5

Schreibe ${\sqrt{91}}^{2}$ als $91$ um.

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Schritt 8.1.2.10.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{91}$ als $91^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 272 + 16 \sqrt{91} - 17 \sqrt{91} + {(91^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 272 + 16 \sqrt{91} - 17 \sqrt{91} + 91^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 272 + 16 \sqrt{91} - 17 \sqrt{91} + 91^{\frac{2}{2}}}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.10.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 272 + 16 \sqrt{91} - 17 \sqrt{91} + 91^{\frac{2}{2}}}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 272 + 16 \sqrt{91} - 17 \sqrt{91} + 91^{1}}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- 272 + 16 \sqrt{91} - 17 \sqrt{91} + 91}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.2

Addiere $- 272$ und $91$ .

$\frac{- 181 + 16 \sqrt{91} - 17 \sqrt{91}}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.10.3

Subtrahiere $17 \sqrt{91}$ von $16 \sqrt{91}$ .

$\frac{- 181 - \sqrt{91}}{9} ((\frac{5 - \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 8.1.2.11

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 181 - \sqrt{91}}{9} (\frac{5 - \sqrt{91}}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 8.1.2.12

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.12.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 181 - \sqrt{91}}{9} (\frac{5 - \sqrt{91}}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3})$

Schritt 8.1.2.12.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 181 - \sqrt{91}}{9} \cdot \frac{5 - \sqrt{91} - 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 8.1.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.2.13.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 181 - \sqrt{91}}{9} \cdot \frac{5 - \sqrt{91} - 6}{3}$

Schritt 8.1.2.13.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$\frac{- 181 - \sqrt{91}}{9} \cdot \frac{- 1 - \sqrt{91}}{3}$

Schritt 8.1.2.14

Multipliziere $\frac{- 181 - \sqrt{91}}{9} \cdot \frac{- 1 - \sqrt{91}}{3}$ .

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Schritt 8.1.2.14.1

Mutltipliziere $\frac{- 181 - \sqrt{91}}{9}$ mit $\frac{- 1 - \sqrt{91}}{3}$ .

$\frac{(- 181 - \sqrt{91}) (- 1 - \sqrt{91})}{9 \cdot 3}$

Schritt 8.1.2.14.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{(- 181 - \sqrt{91}) (- 1 - \sqrt{91})}{27}$

Schritt 8.1.2.15

Multipliziere $(- 181 - \sqrt{91}) (- 1 - \sqrt{91})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 181 (- 1 - \sqrt{91}) - \sqrt{91} (- 1 - \sqrt{91})}{27}$

Schritt 8.1.2.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 181 \cdot - 1 - 181 (- \sqrt{91}) - \sqrt{91} (- 1 - \sqrt{91})}{27}$

Schritt 8.1.2.15.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 181 \cdot - 1 - 181 (- \sqrt{91}) - \sqrt{91} \cdot - 1 - \sqrt{91} (- \sqrt{91})}{27}$

Schritt 8.1.2.16

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.2.16.1.1

Mutltipliziere $- 181$ mit $- 1$ .

$\frac{181 - 181 (- \sqrt{91}) - \sqrt{91} \cdot - 1 - \sqrt{91} (- \sqrt{91})}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 181$ .

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} - \sqrt{91} \cdot - 1 - \sqrt{91} (- \sqrt{91})}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.3

Multipliziere $- \sqrt{91} \cdot - 1$ .

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Schritt 8.1.2.16.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} + 1 \sqrt{91} - \sqrt{91} (- \sqrt{91})}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{91}$ mit $1$ .

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} - \sqrt{91} (- \sqrt{91})}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.4

Multipliziere $- \sqrt{91} (- \sqrt{91})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.16.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} + 1 \sqrt{91} \sqrt{91}}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{91}$ mit $1$ .

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} + \sqrt{91} \sqrt{91}}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.4.3

Potenziere $\sqrt{91}$ mit $1$ .

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} + {\sqrt{91}}^{1} \sqrt{91}}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.4.4

Potenziere $\sqrt{91}$ mit $1$ .

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} + {\sqrt{91}}^{1} {\sqrt{91}}^{1}}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} + {\sqrt{91}}^{1 + 1}}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} + {\sqrt{91}}^{2}}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.5

Schreibe ${\sqrt{91}}^{2}$ als $91$ um.

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Schritt 8.1.2.16.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{91}$ als $91^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} + {(91^{\frac{1}{2}})}^{2}}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} + 91^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} + 91^{\frac{2}{2}}}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.2.16.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} + 91^{\frac{2}{2}}}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} + 91^{1}}{27}$

Schritt 8.1.2.16.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{181 + 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} + 91}{27}$

Schritt 8.1.2.16.2

Addiere $181$ und $91$ .

$\frac{272 + 181 \sqrt{91} + \sqrt{91}}{27}$

Schritt 8.1.2.16.3

Addiere $181 \sqrt{91}$ und $\sqrt{91}$ .

$\frac{272 + 182 \sqrt{91}}{27}$

Schritt 8.2

Schreibe die $x$ und $y$ Koordination in Punktform.

$(\frac{5 - \sqrt{91}}{3}, \frac{272 + 182 \sqrt{91}}{27})$

Schritt 9

Da die erste Ableitung um $x = \frac{5 + \sqrt{91}}{3}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv wechselt, gibt es einen Wendepunkt in $x = \frac{5 + \sqrt{91}}{3}$ .

Schritt 10

Ermittle die y-Koordinate von $\frac{5 + \sqrt{91}}{3}$ um den Wendepunkt zu finden.

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Schritt 10.1

Ermittle $p (\frac{5 + \sqrt{91}}{3})$ um die y-Koordinate von $\frac{5 + \sqrt{91}}{3}$ zu finden.

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Schritt 10.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5 + \sqrt{91}}{3}$ .

$p (\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) = ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 7) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2

Vereinfache $((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 7) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$ .

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Schritt 10.1.2.1

Entferne die Klammern.

$((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 7) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.2

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$(\frac{5 + \sqrt{91}}{3} - 7 \cdot \frac{3}{3}) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1.2.3.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{3}{3}$ .

$(\frac{5 + \sqrt{91}}{3} + \frac{- 7 \cdot 3}{3}) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 + \sqrt{91} - 7 \cdot 3}{3} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$\frac{5 + \sqrt{91} - 21}{3} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.4.2

Subtrahiere $21$ von $5$ .

$\frac{- 16 + \sqrt{91}}{3} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) + 4) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.5

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 16 + \sqrt{91}}{3} (\frac{5 + \sqrt{91}}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1.2.6.1

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 16 + \sqrt{91}}{3} (\frac{5 + \sqrt{91}}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}) ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 16 + \sqrt{91}}{3} \cdot \frac{5 + \sqrt{91} + 4 \cdot 3}{3} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.2.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{- 16 + \sqrt{91}}{3} \cdot \frac{5 + \sqrt{91} + 12}{3} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.7.2

Addiere $5$ und $12$ .

$\frac{- 16 + \sqrt{91}}{3} \cdot \frac{17 + \sqrt{91}}{3} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.8

Multipliziere $\frac{- 16 + \sqrt{91}}{3} \cdot \frac{17 + \sqrt{91}}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{- 16 + \sqrt{91}}{3}$ mit $\frac{17 + \sqrt{91}}{3}$ .

$\frac{(- 16 + \sqrt{91}) (17 + \sqrt{91})}{3 \cdot 3} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{(- 16 + \sqrt{91}) (17 + \sqrt{91})}{9} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.9

Multipliziere $(- 16 + \sqrt{91}) (17 + \sqrt{91})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16 (17 + \sqrt{91}) + \sqrt{91} (17 + \sqrt{91})}{9} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16 \cdot 17 - 16 \sqrt{91} + \sqrt{91} (17 + \sqrt{91})}{9} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16 \cdot 17 - 16 \sqrt{91} + \sqrt{91} \cdot 17 + \sqrt{91} \sqrt{91}}{9} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.1.2.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.2.10.1.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $17$ .

$\frac{- 272 - 16 \sqrt{91} + \sqrt{91} \cdot 17 + \sqrt{91} \sqrt{91}}{9} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.10.1.2

Bringe $17$ auf die linke Seite von $\sqrt{91}$ .

$\frac{- 272 - 16 \sqrt{91} + 17 \cdot \sqrt{91} + \sqrt{91} \sqrt{91}}{9} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.10.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{- 272 - 16 \sqrt{91} + 17 \sqrt{91} + \sqrt{91 \cdot 91}}{9} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.10.1.4

Mutltipliziere $91$ mit $91$ .

$\frac{- 272 - 16 \sqrt{91} + 17 \sqrt{91} + \sqrt{8281}}{9} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.10.1.5

Schreibe $8281$ als $91^{2}$ um.

$\frac{- 272 - 16 \sqrt{91} + 17 \sqrt{91} + \sqrt{91^{2}}}{9} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.10.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 272 - 16 \sqrt{91} + 17 \sqrt{91} + 91}{9} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.10.2

Addiere $- 272$ und $91$ .

$\frac{- 181 - 16 \sqrt{91} + 17 \sqrt{91}}{9} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.10.3

Addiere $- 16 \sqrt{91}$ und $17 \sqrt{91}$ .

$\frac{- 181 + \sqrt{91}}{9} ((\frac{5 + \sqrt{91}}{3}) - 2)$

Schritt 10.1.2.11

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 181 + \sqrt{91}}{9} (\frac{5 + \sqrt{91}}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 10.1.2.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1.2.12.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 181 + \sqrt{91}}{9} (\frac{5 + \sqrt{91}}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3})$

Schritt 10.1.2.12.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 181 + \sqrt{91}}{9} \cdot \frac{5 + \sqrt{91} - 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 10.1.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.2.13.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 181 + \sqrt{91}}{9} \cdot \frac{5 + \sqrt{91} - 6}{3}$

Schritt 10.1.2.13.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$\frac{- 181 + \sqrt{91}}{9} \cdot \frac{- 1 + \sqrt{91}}{3}$

Schritt 10.1.2.14

Multipliziere $\frac{- 181 + \sqrt{91}}{9} \cdot \frac{- 1 + \sqrt{91}}{3}$ .

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Schritt 10.1.2.14.1

Mutltipliziere $\frac{- 181 + \sqrt{91}}{9}$ mit $\frac{- 1 + \sqrt{91}}{3}$ .

$\frac{(- 181 + \sqrt{91}) (- 1 + \sqrt{91})}{9 \cdot 3}$

Schritt 10.1.2.14.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{(- 181 + \sqrt{91}) (- 1 + \sqrt{91})}{27}$

Schritt 10.1.2.15

Multipliziere $(- 181 + \sqrt{91}) (- 1 + \sqrt{91})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.1.2.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 181 (- 1 + \sqrt{91}) + \sqrt{91} (- 1 + \sqrt{91})}{27}$

Schritt 10.1.2.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 181 \cdot - 1 - 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} (- 1 + \sqrt{91})}{27}$

Schritt 10.1.2.15.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 181 \cdot - 1 - 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} \cdot - 1 + \sqrt{91} \sqrt{91}}{27}$

Schritt 10.1.2.16

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.1.2.16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.2.16.1.1

Mutltipliziere $- 181$ mit $- 1$ .

$\frac{181 - 181 \sqrt{91} + \sqrt{91} \cdot - 1 + \sqrt{91} \sqrt{91}}{27}$

Schritt 10.1.2.16.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{91}$ .

$\frac{181 - 181 \sqrt{91} - 1 \cdot \sqrt{91} + \sqrt{91} \sqrt{91}}{27}$

Schritt 10.1.2.16.1.3

Schreibe $- 1 \sqrt{91}$ als $- \sqrt{91}$ um.

$\frac{181 - 181 \sqrt{91} - \sqrt{91} + \sqrt{91} \sqrt{91}}{27}$

Schritt 10.1.2.16.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{181 - 181 \sqrt{91} - \sqrt{91} + \sqrt{91 \cdot 91}}{27}$

Schritt 10.1.2.16.1.5

Mutltipliziere $91$ mit $91$ .

$\frac{181 - 181 \sqrt{91} - \sqrt{91} + \sqrt{8281}}{27}$

Schritt 10.1.2.16.1.6

Schreibe $8281$ als $91^{2}$ um.

$\frac{181 - 181 \sqrt{91} - \sqrt{91} + \sqrt{91^{2}}}{27}$

Schritt 10.1.2.16.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{181 - 181 \sqrt{91} - \sqrt{91} + 91}{27}$

Schritt 10.1.2.16.2

Addiere $181$ und $91$ .

$\frac{272 - 181 \sqrt{91} - \sqrt{91}}{27}$

Schritt 10.1.2.16.3

Subtrahiere $\sqrt{91}$ von $- 181 \sqrt{91}$ .

$\frac{272 - 182 \sqrt{91}}{27}$

Schritt 10.2

Schreibe die $x$ und $y$ Koordination in Punktform.

$(\frac{5 + \sqrt{91}}{3}, \frac{272 - 182 \sqrt{91}}{27})$

Schritt 11

Das sind die Wendepunkte.

$(\frac{5 - \sqrt{91}}{3}, \frac{272 + 182 \sqrt{91}}{27})$

$(\frac{5 + \sqrt{91}}{3}, \frac{272 - 182 \sqrt{91}}{27})$

Schritt 12