Analysis Beispiele

$(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}} + \frac{2}{e}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}} + \frac{2}{e}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$ .

$\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{e^{x}}$ als $e^{\frac{x}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + y^{2}$ und $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$(x + y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$(x + y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x + y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 2.8

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2}) + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 2.10

Kombiniere $e^{\frac{x}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 2.11

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $e^{\frac{x}{2}}$ mit $1$ .

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Schritt 3

Da $\frac{2}{e}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{e}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + y^{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + y^{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

Schritt 4.2.3

Addiere $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ und $0$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$