Analysis Beispiele

$- 4 y - 2 = - 2 x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 4 y - 2) = \frac{d}{d x} (- 2 x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 y - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 4 y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 y' + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $- 4 y'$ und $0$ .

$- 4 y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 2 (x y' + y)$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x y' - 2 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 4 y' = - 2 x y' - 2 y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Addiere $2 x y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y' + 2 x y' = - 2 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 4 y' + 2 x y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 4 y'$ heraus.

$2 y' \cdot - 2 + 2 x y' = - 2 y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 x y'$ heraus.

$2 y' \cdot - 2 + 2 y' x = - 2 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' \cdot - 2 + 2 y' x$ heraus.

$2 y' (- 2 + x) = - 2 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (- 2 + x) = - 2 y$ durch $2 (- 2 + x)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (- 2 + x) = - 2 y$ durch $2 (- 2 + x)$ .

$\frac{2 y' (- 2 + x)}{2 (- 2 + x)} = \frac{- 2 y}{2 (- 2 + x)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (- 2 + x)}{2 (- 2 + x)} = \frac{- 2 y}{2 (- 2 + x)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- 2 + x)}{- 2 + x} = \frac{- 2 y}{2 (- 2 + x)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 + x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 2 + x)}{- 2 + x} = \frac{- 2 y}{2 (- 2 + x)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 (- 2 + x)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y)}{2 (- 2 + x)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- y)}{2 (- 2 + x)}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{- 2 + x}$

Schritt 5.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{- 2 + x}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y' = - \frac{y}{- 1 (2) + x}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$y' = - \frac{y}{- 1 (2) - 1 (- x)}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - 1 (- x)$ heraus.

$y' = - \frac{y}{- 1 (2 - x)}$

Schritt 5.3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - - \frac{y}{2 - x}$

Schritt 5.3.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' = 1 \frac{y}{2 - x}$

Schritt 5.3.3.6.3

Mutltipliziere $\frac{y}{2 - x}$ mit $1$ .

$y' = \frac{y}{2 - x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 - x}$