Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Schritt 1

Es gilt $x = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (x) = \ln (f (x))$ .

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4}))$

Schritt 2

Erweitere die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ als $\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4})$ um.

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (e^{x} x^{3})$ als $\ln (e^{x}) + \ln (x^{3})$ um.

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x}) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Schritt 2.4

Zerlege $\ln (x^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Schritt 2.5

Zerlege $\ln ({(x + 1)}^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Schritt 2.6

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (f (x)) = \ln (x \cdot 1 + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (f (x)) = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (f (x))$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{x'}{x} = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere $\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d x} [\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

Schritt 3.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

Schritt 3.2.3

Differenziere.

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Schritt 3.2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Schritt 3.2.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \ln (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Schritt 3.2.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.2.5.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Schritt 3.2.5.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \ln (x + 1)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 3.2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Schritt 3.2.6.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Schritt 3.2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Schritt 3.2.7

Differenziere.

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Schritt 3.2.7.1

Kombiniere $\frac{1}{x + 1}$ und $4$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 3.2.7.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.2.7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.2.7.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + 0))$

Schritt 3.2.7.5

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 3.2.7.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \cdot 1)$

Schritt 3.2.7.5.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.7.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{4}{x + 1}$ mit $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1})$

Schritt 3.2.7.5.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{x + 1})$

Schritt 3.2.7.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1 + 4}{x + 1})$

Schritt 3.2.7.5.4

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 5}{x + 1})$

Schritt 3.2.8

Um $\frac{3}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1})$

Schritt 3.2.9

Um $\frac{x + 5}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

Schritt 3.2.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.10.1

Mutltipliziere $\frac{3}{x}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

Schritt 3.2.10.2

Mutltipliziere $\frac{x + 5}{x + 1}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{(x + 1) x})$

Schritt 3.2.10.3

Stelle die Faktoren von $(x + 1) x$ um.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{x (x + 1)})$

Schritt 3.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \cdot \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$

Schritt 3.2.12

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)}$ mit $\frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) (x (x + 1))}$

Schritt 3.2.13

Vereinfache.

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Schritt 3.2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

Schritt 3.2.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

Schritt 3.2.13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Schritt 3.2.13.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.13.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.13.4.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Schritt 3.2.13.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x^{2} + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Schritt 3.2.13.4.2

Addiere $3 x$ und $5 x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Schritt 3.2.13.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.13.5.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Schritt 3.2.13.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x^{1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Schritt 3.2.13.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1 + 1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Schritt 3.2.13.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Schritt 3.2.13.6

Stelle die Terme um.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

Schritt 3.2.13.7

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x$ heraus.

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Schritt 3.2.13.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

Schritt 3.2.13.7.2

Faktorisiere $x$ aus $3 \ln (x) x$ heraus.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + 4 \ln (x + 1) x)}$

Schritt 3.2.13.7.3

Faktorisiere $x$ aus $4 \ln (x + 1) x$ heraus.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

Schritt 3.2.13.7.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (3 \ln (x))$ heraus.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

Schritt 3.2.13.7.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1))$ heraus.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)))}$

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

Schritt 3.2.13.8

Stelle die Faktoren in $\frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$ um.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

Schritt 4

Isoliere $x'$ und ersetze die Originalfunktion für $x$ auf der rechten Seite.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.1.1.1

Vereinfache $3 \ln (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache $4 \ln (x + 1)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Schritt 5.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ und $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ .

$x' = \frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren in $\frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ um.

$x' = \frac{\ln (x^{3} e^{x} {(x + 1)}^{4}) (x^{2} + 8 x + 3)}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$