Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 5}{2 x^{2} + 1}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + 0}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0 + 5 \cdot 0$ und $2 + 0$ .

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Schritt 8.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{0 + 0 \cdot 5}{2 + 0}$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (0) + 0 \cdot 5}{2 + 0}$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $2$ aus $0 \cdot 5$ heraus.

$\frac{2 (0) + 2 (0 \cdot 5)}{2 + 0}$

Schritt 8.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (0) + 2 (0 \cdot 5)$ heraus.

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 + 0}$

Schritt 8.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot 1 + 0}$

Schritt 8.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 0}$

Schritt 8.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 \cdot 0$ heraus.

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot (1 + 0)}$

Schritt 8.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot (1 + 0)}$

Schritt 8.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0 + 0 \cdot 5}{1 + 0}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $5$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0}$

Schritt 8.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Schritt 8.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$