Analysis Beispiele

${(x + x y + y)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + x y + y$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + x y + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + x y + y$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + x y + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.6

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y + 0)$

Schritt 2.7

Addiere $1 + y$ und $0$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 {(x + x y + y)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x + x y + y)}^{2} y$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} + 3 {(x + x y + y)}^{2} y$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$3 {(x + x y + y)}^{2} + 3 y {(x + x y + y)}^{2}$