Analysis Beispiele

$\int \frac{9 x {(x^{2} - 10)}^{8}}{5} d x$

Schritt 1

Da $\frac{9}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{9}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{9}{5} \int x {(x^{2} - 10)}^{8} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2} - 10$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2} - 10$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2} - 10$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 10]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 2.1.4

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{9}{5} \int u^{8} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $u^{8}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{5} \int \frac{u^{8}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{9}{5} (\frac{1}{2} \int u^{8} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{9}{5}$ .

$\frac{9}{2 \cdot 5} \int u^{8} d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{9}{10} \int u^{8} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{8}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{9}{10} (\frac{1}{9} u^{9} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{9}{10} (\frac{1}{9} u^{9} + C)$ als $\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} u^{9} + C$ um.

$\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} u^{9} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{9}{10}$ mit $\frac{1}{9}$ .

$\frac{9}{10 \cdot 9} u^{9} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $9$ .

$\frac{9}{90} u^{9} + C$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $90$ .

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Schritt 7.2.3.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\frac{9 (1)}{90} u^{9} + C$

Schritt 7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $9$ aus $90$ heraus.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 10} u^{9} + C$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 10} u^{9} + C$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} u^{9} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 10$ .

$\frac{1}{10} {(x^{2} - 10)}^{9} + C$