Analysis Beispiele

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x \ln (x^{2})} d x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x \ln (x^{2})}$ als $\frac{1}{x (2 \ln (x))}$ um.

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x (2 \ln (x))} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Schritt 3

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{lower} = \ln (4)$

Schritt 3.3

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{upper} = \ln (8)$

Schritt 3.4

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (8)$

Schritt 3.5

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} \int_{\ln (4)}^{\ln (8)} \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{\ln (4)}^{\ln (8)}$

Schritt 5

Berechne $\ln (| u |)$ bei $\ln (8)$ und $\ln (4)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \ln (8) |) - \ln (| \ln (4) |))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})}{2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

$\ln (8)$ ist ungefähr $2.07944154$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{| \ln (4) |})}{2}$

Schritt 7.2

$\ln (4)$ ist ungefähr $1.38629436$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{\ln (4)})}{2}$

Schritt 7.3

Schreibe $\ln (8)$ als $\ln (2^{3})$ um.

$\frac{\ln (\frac{\ln (2^{3})}{\ln (4)})}{2}$

Schritt 7.4

Zerlege $\ln (2^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (4)})}{2}$

Schritt 7.5

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (2^{2})})}{2}$

Schritt 7.6

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Schritt 7.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 7.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Schritt 7.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Dezimalform:

$0.20273255 \dots$