Analysis Beispiele

$\frac{70 x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 1

Da $70$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{70 x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}$ nach $x$ gleich $70 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}]$ .

$70 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(3 x^{2} + 8)}^{2}$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{({(3 x^{2} + 8)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x^{2} + 8)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere ${(3 x^{2} + 8)}^{2}$ mit $1$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 x^{2} + 8$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2} + 8$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} + 8$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (2 (3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3 x^{2} + 8$ aus ${(3 x^{2} + 8)}^{2} - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3 x^{2} + 8$ aus ${(3 x^{2} + 8)}^{2}$ heraus.

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $3 x^{2} + 8$ aus $- 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])$ heraus.

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) + (3 x^{2} + 8) (- 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $3 x^{2} + 8$ aus $(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) + (3 x^{2} + 8) (- 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))$ heraus.

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3 x^{2} + 8$ aus ${(3 x^{2} + 8)}^{4}$ heraus.

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{(3 x^{2} + 8) {(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{(3 x^{2} + 8) {(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 11

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Addiere $6 x$ und $0$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 16

Addiere $1$ und $1$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x^{2}}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 17

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$70 \frac{- 9 x^{2} + 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 18

Kombiniere $70$ und $\frac{- 9 x^{2} + 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$ .

$\frac{70 (- 9 x^{2} + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 19

Vereinfache.

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Schritt 19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 70 \cdot 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 19.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $70$ .

$\frac{- 630 x^{2} + 70 \cdot 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 19.2.2

Mutltipliziere $70$ mit $8$ .

$\frac{- 630 x^{2} + 560}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 19.3

Faktorisiere $70$ aus $- 630 x^{2} + 560$ heraus.

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Schritt 19.3.1

Faktorisiere $70$ aus $- 630 x^{2}$ heraus.

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 560}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 19.3.2

Faktorisiere $70$ aus $560$ heraus.

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 70 (8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 19.3.3

Faktorisiere $70$ aus $70 (- 9 x^{2}) + 70 (8)$ heraus.

$\frac{70 (- 9 x^{2} + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 19.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$\frac{70 (- (9 x^{2}) + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 19.5

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$\frac{70 (- (9 x^{2}) - 1 (- 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 19.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 x^{2}) - 1 (- 8)$ heraus.

$\frac{70 (- (9 x^{2} - 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 19.7

Schreibe $- (9 x^{2} - 8)$ als $- 1 (9 x^{2} - 8)$ um.

$\frac{70 (- 1 (9 x^{2} - 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Schritt 19.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{70 (9 x^{2} - 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$