Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 x) + \tan (\frac{5 x}{2})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (\frac{5 x}{2})$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (\frac{5 x}{2})$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (\frac{5 x}{2})$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + \tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{5 x}{2})$

Schritt 5

Ziehe den Term $\frac{5}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + \tan (\frac{5}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\sin (2 \frac{π}{2}) + \tan (\frac{5}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\sin (2 \frac{π}{2}) + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 \frac{π}{2}) + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

Schritt 7.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (π) + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

Schritt 7.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\sin (0) + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

Schritt 7.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

Schritt 7.1.4

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$0 + \tan (\frac{5 π}{2 \cdot 2})$

Schritt 7.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 + \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 7.1.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$0 + \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 7.1.6

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$0 + 1$

Schritt 7.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$