Analysis Beispiele

$\frac{1 + x + y}{\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}$ als ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d y} [\frac{1 + x + y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 1 + x + y$ und $g (y) = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

Schritt 4

Vereinfache.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.4

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = 1 + x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 11.3

Bringe ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2} + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 13

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 14

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 15

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 16

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 y))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 18

Vereinfache Terme.

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Schritt 18.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y)}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 18.2

Kombiniere $\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $y$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 y}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 18.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 y}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 18.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19

Vereinfache.

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Schritt 19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 1 - x - y) \frac{y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.2.1

Es sei $u_{2} = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u_{2}$ für alle ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 19.2.1.1

Mutltipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} + (- 1 - x - y) y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - 1 y - x y - y \cdot y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 19.2.1.3.1

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - y \cdot y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19.2.1.3.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.2.1.3.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - (y \cdot y)}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19.2.1.3.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - y^{2}}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19.2.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19.2.3

Vereinfache.

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Schritt 19.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 19.2.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19.2.3.1.2

Vereinfache.

$\frac{\frac{1 + x^{2} + y^{2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + x^{2} + y^{2} - y - x y - y^{2}$ .

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Schritt 19.2.3.2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y + 0}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19.2.3.2.2

Addiere $1 + x^{2} - y - x y$ und $0$ .

$\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19.3

Vereine die Terme

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Schritt 19.3.1

Schreibe $\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$ als ein Produkt um.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Schritt 19.3.2

Mutltipliziere $\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2} + y^{2})}$

Schritt 19.3.3

Multipliziere ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1 + x^{2} + y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.3.3.1

Mutltipliziere ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1 + x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 19.3.3.1.1

Potenziere $1 + x^{2} + y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

Schritt 19.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 19.3.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 19.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 19.3.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 19.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} - x y - y + 1}{{(x^{2} + y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$