Analysis Beispiele

$\frac{x}{y^{3}} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (\frac{x}{y^{3}}) = \frac{d}{d y} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y^{3}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{{(y^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{6}}$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{y^{3} x' - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{6}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{y^{3} x' - x (3 y^{2})}{y^{6}}$

Schritt 2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{3} x' - 3 x y^{2}}{y^{6}}$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3} x' - 3 x y^{2}$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3} x'$ heraus.

$\frac{y^{2} (y x') - 3 x y^{2}}{y^{6}}$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 3 x y^{2}$ heraus.

$\frac{y^{2} (y x') + y^{2} (- 3 x)}{y^{6}}$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} (y x') + y^{2} (- 3 x)$ heraus.

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{6}}$

Schritt 2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{6}$ heraus.

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{2} y^{4}}$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{2} y^{4}}$

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x' - 3 x}{y^{4}}$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{y x' - 3 x}{y^{4}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Setze den Zähler gleich Null.

$y x' - 3 x = 0$

Schritt 5.2

Löse die Gleichung nach $x'$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x' = 3 x$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $y x' = 3 x$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y x' = 3 x$ durch $y$ .

$\frac{y x'}{y} = \frac{3 x}{y}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x'}{y} = \frac{3 x}{y}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{3 x}{y}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 x}{y}$