Analysis Beispiele

$\int (7 + t) \sqrt{t} d t$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int (7 + t) t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 2

Multipliziere $(7 + t) t^{\frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{1} t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

Schritt 2.6

Addiere $2$ und $1$ .

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 4

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{3}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$7 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $t^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

$\frac{14 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.3

Stelle die Terme um.

$\frac{14}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$