Analysis Beispiele

$\int (\frac{x^{6} + 5 x^{9} - 4}{x^{3}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{x^{6} + 5 x^{9} - 4}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{6} + 5 x^{9} - 4) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{6} + 5 x^{9} - 4) x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int (x^{6} + 5 x^{9} - 4) x^{- 3} d x$

Schritt 4

Multipliziere $(x^{6} + 5 x^{9} - 4) x^{- 3}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{6} + 5 x^{9}) x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{6} x^{- 3} + 5 x^{9} x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{6 - 3} + 5 x^{9} x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

Schritt 4.4

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$\int x^{3} + 5 x^{9} x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{3} + 5 x^{9 - 3} - 4 x^{- 3} d x$

Schritt 4.6

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$\int x^{3} + 5 x^{6} - 4 x^{- 3} d x$

Schritt 4.7

Stelle $x^{3}$ und $5 x^{6}$ um.

$\int 5 x^{6} + x^{3} - 4 x^{- 3} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 x^{6} d x + \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 3} d x$

Schritt 6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int x^{6} d x + \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 3} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$5 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 3} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 4 x^{- 3} d x$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $x^{7}$ .

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 4 x^{- 3} d x$

Schritt 10

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 \int x^{- 3} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 12.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 12.3

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 12.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{4}{2 x^{2}} + C$

Schritt 12.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 12.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

Schritt 12.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{2})} + C$

Schritt 12.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

Schritt 12.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2}{x^{2}} + C$

Schritt 12.4

Stelle die Terme um.

$\frac{5}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + C$