Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}}{4 + x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 + lim_{x \to 2} x^{2}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{4 + lim_{x \to 2} x^{2}}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{4 + {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{4 + {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - 2}}{4 + {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4} - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Schritt 12.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}} - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Schritt 12.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Schritt 12.1.4

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{4 + 2^{2}}$

Schritt 12.1.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{4 + 2^{2}}$

Schritt 12.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{4 + 2^{2}}$

Schritt 12.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2}{4 + 2^{2}}$

Schritt 12.1.8

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{4 + 2^{2}}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 + 4}$

Schritt 12.2.2

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{0}{8}$

Schritt 12.3

Dividiere $0$ durch $8$ .

$0$