Analysis Beispiele

$y = \frac{- 3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ , $(0, - 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = - 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Schritt 1.1.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Schritt 1.1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.3.1

Schreibe $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ als ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ um.

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 3 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (- 3 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$9 ({(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + 0)$

Schritt 1.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.7.1

Addiere $6 x$ und $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x)$

Schritt 1.3.7.2

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$54 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} x$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$54 \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $54$ und $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

Schritt 1.4.2.2

Kombiniere $\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ und $x$ .

$\frac{54 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$\frac{54 (0)}{{(3 {(0)}^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $54$ mit $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0 + 1)}^{4}}$

Schritt 1.6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{4}}$

Schritt 1.6.2.3

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{0}{1^{4}}$

Schritt 1.6.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1}$

Schritt 1.6.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $0$ und einen gegebenen Punkt $(0, - 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 3 = 0 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $0 \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y + 3 = 0 \cdot x$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$y + 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 3$

Schritt 3