Analysis Beispiele

${(3 - 5 x)}^{5}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = 3 - 5 x$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 - 5 x$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 1.2.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$- 25 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 25 {(3 - 5 x)}^{4} \cdot 1$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $- 25$ mit $1$ .

$f' (x) = - 25 {(3 - 5 x)}^{4}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25 {(3 - 5 x)}^{4}$ nach $x$ gleich $- 25 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{4}]$ .

$- 25 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{4}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 3 - 5 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 - 5 x$ .

$- 25 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 25 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 - 5 x$ .

$- 25 (4 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 25$ .

$- 100 ({(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 2.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 2.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 100$ .

$500 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$500 {(3 - 5 x)}^{3} \cdot 1$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $500$ mit $1$ .

$f'' (x) = 500 {(3 - 5 x)}^{3}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $500$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $500 {(3 - 5 x)}^{3}$ nach $x$ gleich $500 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{3}]$ .

$500 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 3 - 5 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 - 5 x$ .

$500 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$500 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 - 5 x$ .

$500 (3 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $500$ .

$1500 ({(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 3.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 3.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 3.3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $1500$ .

$- 7500 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 7500 {(3 - 5 x)}^{2} \cdot 1$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 7500$ mit $1$ .

$f''' (x) = - 7500 {(3 - 5 x)}^{2}$