Analysis Beispiele

$f (r) = \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (r)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (r)$ ermittelt wird.

$F (r) = \int f (r) d r$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (r) = \int \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{3}{1 + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $r$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{1 + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Schritt 5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$3 \int \frac{1}{1^{2} + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + r^{2}}$ nach $r$ ist $\arctan (r) + C$ .

$3 (\arctan (r) + C) + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $r$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (\arctan (r) + C) - \int \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Schritt 8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{r^{4}}$ als $r^{\frac{4}{5}}$ neu zu schreiben.

$3 (\arctan (r) + C) - \int r^{\frac{4}{5}} d r$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $r^{\frac{4}{5}}$ nach $r$ gleich $\frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}}$ .

$3 (\arctan (r) + C) - (\frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$3 \arctan (r) - \frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (r) = \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}}$ .

$F (r) =$ $3 \arctan (r) - \frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C$