Analysis Beispiele

$\int \frac{\sec (θ)}{\cos (θ)} d θ$

Schritt 1

Schreibe $\sec (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (θ)}}{\cos (θ)} d θ$

Schritt 2

Schreibe $\frac{\frac{1}{\cos (θ)}}{\cos (θ)}$ als ein Produkt um.

$\int \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)} d θ$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (θ)}$ mit $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (θ) \cos (θ)} d θ$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)} d θ$

Schritt 4.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)} d θ$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1}{{\cos (θ)}^{1 + 1}} d θ$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)}$ als ${(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2}$ um.

$\int {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} d θ$

Schritt 6

Wandle von $\frac{1}{\cos (θ)}$ nach $\sec (θ)$ um.

$\int \sec^{2} (θ) d θ$

Schritt 7

Da die Ableitung von $\tan (θ)$ gleich $\sec^{2} (θ)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (θ)$ gleich $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) + C$