Analysis Beispiele

$\arccos (- \frac{x}{5})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arccos (x)$ und $g (x) = - \frac{x}{5}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arccos (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x}{5}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(- \frac{x}{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{x}{5}$ heraus.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(- (\frac{x}{5}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $- (\frac{x}{5})$ an.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{x}{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Schritt 2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 {(\frac{x}{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere ${(\frac{x}{5})}^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Schritt 2.3

Da $- \frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} (- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} \cdot 1$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{5}$ an.

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{5^{2}}}}$

Schritt 3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{25}}}$