Analysis Beispiele

$x^{2} y + 4 y = 8$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + 4 y) = \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y + 4 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + 2 y x + 4 y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y'$

Schritt 3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' + 4 y' = - 2 x y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y' + 4 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y'$ heraus.

$y' x^{2} + 4 y' = - 2 x y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $4 y'$ heraus.

$y' x^{2} + y' \cdot 4 = - 2 x y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' x^{2} + y' \cdot 4$ heraus.

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ durch $x^{2} + 4$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ durch $x^{2} + 4$ .

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 4$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$