Analysis Beispiele

$y' = 3 x^{2}$ , $y = x^{3} - 4 + c$ , $y (0) = 5$

Schritt 1

Prüfe, ob die gegebene Lösung die Differentialgleichung erfüllt.

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Schritt 1.1

Ermittle $y'$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 1.1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 4 + c$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.1.3.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.1.3.4

Da $c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $c$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Schritt 1.1.3.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.3.5.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.3.5.2

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 3 x^{2}$

Schritt 1.2

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Schritt 1.3

Die gegebene Lösung erfüllt die gegebene Differentialgleichung.

$y = x^{3} - 4 + c$ ist ein Lösung von $y' = 3 x^{2}$

Schritt 2

Ersetze in die Anfangsbedingung

$5 = 0^{3} - 4 + c$

Schritt 3

Löse nach $c$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $0^{3} - 4 + c = 5$ um.

$0^{3} - 4 + c = 5$

Schritt 3.2

Vereinfache $0^{3} - 4 + c$ .

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Schritt 3.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 4 + c = 5$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 4 + c = 5$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $c$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$c = 5 + 4$

Schritt 3.3.2

Addiere $5$ und $4$ .

$c = 9$