Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt{x^{2} + 3} - 2}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} \sqrt{x^{2} + 3} - 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} \sqrt{x^{2} + 3} - lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 1}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 1} x^{2} + 3} - lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 1}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 1}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3} - lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 1}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 1}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 1}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 1}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3} - 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 12.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 12.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 12.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 12.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 12.1.6

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{1 + 1}$

Schritt 12.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0}{2}$

Schritt 12.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0$