Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{3} - \frac{3}{32} x^{2} + \frac{3}{16} x + \frac{9}{32} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{3} - \frac{3}{32} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} \frac{3}{16} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Schritt 2

Da $- \frac{3}{32}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{3}{32}$ aus dem Integral.

$- \frac{3}{32} \int_{- 1}^{3} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} \frac{3}{16} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \int_{- 1}^{3} \frac{3}{16} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Schritt 4

Da $\frac{3}{16}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{16}$ aus dem Integral.

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \frac{3}{16} \int_{- 1}^{3} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \frac{3}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3} + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \frac{3}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3} + \frac{9}{32} x]_{- 1}^{3}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3}$ bei $3$ und $- 1$ .

$- \frac{3}{32} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3} + \frac{9}{32} x]_{- 1}^{3}$

Schritt 7.2

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $3$ und $- 1$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + \frac{9}{32} x]_{- 1}^{3}$

Schritt 7.3

Berechne $\frac{9}{32} x$ bei $3$ und $- 1$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $27$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 7.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$- \frac{3}{32} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{3}{32} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{32} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{32} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.3.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$- \frac{3}{32} (9 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{3}{32} (9 - \frac{1}{3} \cdot - 1) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{3}{32} (9 + 1 (\frac{1}{3})) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{3}{32} (9 + \frac{1}{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.7

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{32} (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.8

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3}{32} \cdot \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.10.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$- \frac{3}{32} \cdot \frac{27 + 1}{3} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.10.2

Addiere $27$ und $1$ .

$- \frac{3}{32} \cdot \frac{28}{3} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.11

Mutltipliziere $\frac{28}{3}$ mit $\frac{3}{32}$ .

$- \frac{28 \cdot 3}{3 \cdot 32} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.12

Mutltipliziere $28$ mit $3$ .

$- \frac{84}{3 \cdot 32} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.13

Mutltipliziere $3$ mit $32$ .

$- \frac{84}{96} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $84$ und $96$ .

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Schritt 7.4.14.1

Faktorisiere $12$ aus $84$ heraus.

$- \frac{12 (7)}{96} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.14.2.1

Faktorisiere $12$ aus $96$ heraus.

$- \frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.15

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.17

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{9 - 1}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.20

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{8}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.21

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 7.4.21.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.21.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.21.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.21.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.21.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{4}{1} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.21.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot 4 + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.22

Kombiniere $\frac{3}{16}$ und $4$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3 \cdot 4}{16} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.23

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{12}{16} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.24

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $16$ .

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Schritt 7.4.24.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{7}{8} + \frac{4 (3)}{16} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.24.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.24.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$- \frac{7}{8} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.24.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{7}{8} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.24.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{4} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.25

Um $\frac{3}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.26

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.4.26.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.26.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3 \cdot 2}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 7 + 3 \cdot 2}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.28

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.28.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 7 + 6}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.28.2

Addiere $- 7$ und $6$ .

$\frac{- 1}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.29

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.30

Kombiniere $\frac{9}{32}$ und $3$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{9 \cdot 3}{32} - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.31

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{27}{32} - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Schritt 7.4.32

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{27}{32} + 1 (\frac{9}{32})$

Schritt 7.4.33

Mutltipliziere $\frac{9}{32}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{27}{32} + \frac{9}{32}$

Schritt 7.4.34

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{8} + \frac{27 + 9}{32}$

Schritt 7.4.35

Addiere $27$ und $9$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{36}{32}$

Schritt 7.4.36

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $32$ .

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Schritt 7.4.36.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$- \frac{1}{8} + \frac{4 (9)}{32}$

Schritt 7.4.36.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.36.2.1

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$- \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}$

Schritt 7.4.36.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}$

Schritt 7.4.36.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{8} + \frac{9}{8}$

Schritt 7.4.37

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 9}{8}$

Schritt 7.4.38

Addiere $- 1$ und $9$ .

$\frac{8}{8}$

Schritt 7.4.39

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 7.4.39.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{8}$

Schritt 7.4.39.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 8