Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} (1 + \sqrt{1 - x^{2}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 1}^{1} 1 + \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{1} d x + \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Schritt 5.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Schritt 5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 10

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Schritt 10.3.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = - π$

Schritt 10.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 10.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 10.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Schritt 10.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 11

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Schritt 13

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Schritt 14

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.1

Berechne $x$ bei $1$ und $- 1$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Schritt 14.2

Berechne $t$ bei $\frac{π}{2}$ und $- \frac{π}{2}$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Schritt 14.3

Berechne $\sin (u)$ bei $π$ und $- π$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Schritt 14.4

Vereinfache.

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Schritt 14.4.1

Addiere $1$ und $1$ .

$2 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Schritt 14.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 + \frac{1}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Schritt 14.4.3

Addiere $π$ und $π$ .

$2 + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Schritt 14.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Schritt 14.4.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Schritt 15.1.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Schritt 15.1.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Schritt 15.1.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Schritt 15.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Schritt 15.1.2

Addiere $0$ und $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + 0)$

Schritt 15.2

Addiere $π$ und $0$ .

$2 + \frac{1}{2} π$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π$ .

$2 + \frac{π}{2}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 + \frac{π}{2}$

Dezimalform:

$3.57079632 \dots$

Schritt 17