Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{6 \sqrt[4]{x}} d x$

Schritt 1

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt[4]{x}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} d x$

Schritt 2.2

Bringe $x^{\frac{1}{4}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{6} \int {(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \int x^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{6} \int x^{\frac{- 1}{4}} d x$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{6} \int x^{- \frac{1}{4}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{4}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{6} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C)$ als $\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C$ um.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{6 \cdot 3} x^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{4}{18} x^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $18$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{18} x^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{9} x^{\frac{3}{4}} + C$