Analysis Beispiele

$- y + y^{2} - 4 y^{3} + x^{2} = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- y + y^{2} - 4 y^{3} + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- y + y^{2} - 4 y^{3} + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- y' + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$- y' + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- y' + 2 u_{1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$- y' + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- y' + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- y' + 2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$- y' + 2 y y' - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- y' + 2 y y' - 4 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$- y' + 2 y y' - 4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- y' + 2 y y' - 4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$- y' + 2 y y' - 12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- y' + 2 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$2 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x - y'$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x - y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - 12 y^{2} y' - y' = - 2 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y' - 12 y^{2} y' - y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (2 y) - 12 y^{2} y' - y' = - 2 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 12 y^{2} y'$ heraus.

$y' (2 y) + y' (- 12 y^{2}) - y' = - 2 x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (2 y) + y' (- 12 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 y) + y' (- 12 y^{2})$ heraus.

$y' (2 y - 12 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 y - 12 y^{2}) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (2 y - 12 y^{2} - 1) = - 2 x$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1) = - 2 x$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1) = - 2 x$ durch $- 12 y^{2} + 2 y - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1) = - 2 x$ durch $- 12 y^{2} + 2 y - 1$ .

$\frac{y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1)}{- 12 y^{2} + 2 y - 1} = \frac{- 2 x}{- 12 y^{2} + 2 y - 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12 y^{2} + 2 y - 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1)}{- 12 y^{2} + 2 y - 1} = \frac{- 2 x}{- 12 y^{2} + 2 y - 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 12 y^{2} + 2 y - 1}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x}{- 12 y^{2} + 2 y - 1}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 12 y^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2}) + 2 y - 1}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $2 y$ heraus.

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2}) - (- 2 y) - 1}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (12 y^{2}) - (- 2 y)$ heraus.

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2} - 2 y) - 1}$

Schritt 5.4.3.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2} - 2 y) - 1 (1)}$

Schritt 5.4.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (12 y^{2} - 2 y) - 1 (1)$ heraus.

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2} - 2 y + 1)}$

Schritt 5.4.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.3.7.1

Schreibe $- (12 y^{2} - 2 y + 1)$ als $- 1 (12 y^{2} - 2 y + 1)$ um.

$y' = - \frac{2 x}{- 1 (12 y^{2} - 2 y + 1)}$

Schritt 5.4.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - - \frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 5.4.3.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' = 1 \frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 5.4.3.7.4

Mutltipliziere $\frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$ mit $1$ .

$y' = \frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$