Analysis Beispiele

$\int_{0}^{4} π {(\sqrt{x})}^{2} d x$

Schritt 1

Schreibe ${(\sqrt{x})}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{4} π {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Schritt 1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{4} π x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Schritt 1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int_{0}^{4} π x^{\frac{2}{2}} d x$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{4} π x^{\frac{2}{2}} d x$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{4} π x^{1} d x$

Schritt 1.5

Vereinfache.

$\int_{0}^{4} π x d x$

Schritt 2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $π$ aus dem Integral.

$π \int_{0}^{4} x d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$π \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$π \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $4$ und $0$ .

$π ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$π (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$π (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$π (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.2.2.2.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$π (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.2.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$π (8 - \frac{0}{2})$

Schritt 4.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 4.2.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$π (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 4.2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$π (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (8 - \frac{0}{1})$

Schritt 4.2.2.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$π (8 - 0)$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π (8 + 0)$

Schritt 4.2.2.6

Addiere $8$ und $0$ .

$π \cdot 8$

Schritt 4.2.2.7

Bringe $8$ auf die linke Seite von $π$ .

$8 π$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$8 π$

Dezimalform:

$25.13274122 \dots$

Schritt 6