Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x^{3} \ln ({(3 + x^{4})}^{4})}{3 + x^{4}} d x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{2 x^{3} \ln ({(3 + x^{4})}^{4})}{3 + x^{4}}$ als $\frac{2 x^{3} (4 \ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}}$ um.

$\int \frac{2 x^{3} (4 \ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Schritt 2

Da $2 \cdot 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 \cdot 4$ aus dem Integral.

$2 \cdot 4 \int \frac{x^{3} (\ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 \int \frac{x^{3} (\ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Schritt 4

Sei $u_{1} = 3 + x^{4}$ . Dann ist $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = 3 + x^{4}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $3 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + x^{4}]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.1.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Schritt 4.1.5

Addiere $0$ und $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 4} d u_{1}$

Schritt 5.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{4 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $8$ .

$\frac{8}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2}{4 (1)} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 8

Sei $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , folglich $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Schritt 8.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ um.

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 10.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere ${u_{2}}^{2}$ mit $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (u_{1})$ .

$\ln^{2} (u_{1}) + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 + x^{4}$ .

$\ln^{2} (3 + x^{4}) + C$