Analysis Beispiele

$y = (1 + x^{2}) \arctan (x) - x$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(1 + x^{2}) \arctan (x) - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + x^{2}$ und $g (x) = \arctan (x)$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (0 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.6

Addiere $0$ und $2 x$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - 1$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x) - 1$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x) - 1$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + 2 x \arctan (x) - 1$

Schritt 4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + 2 x \arctan (x) - 1$ .

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 x \arctan (x) + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $2 x \arctan (x)$ und $0$ .

$2 x \arctan (x)$