Analysis Beispiele

$2 \int_{1}^{2} (x^{2} + 1) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$2 \int_{1}^{2} x^{2} + 1 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} d x)$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} d x)$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} d x)$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} + x]_{1}^{2})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}$ und $x]_{1}^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + x]_{1}^{2})$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3} + x$ bei $2$ und $1$ .

$2 ((\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{1^{3}}{3} + 1))$

Schritt 6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 (\frac{8}{3} + 2 - (\frac{1^{3}}{3} + 1))$

Schritt 6.2.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1^{3}}{3} + 1))$

Schritt 6.2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1^{3}}{3} + 1))$

Schritt 6.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1^{3}}{3} + 1))$

Schritt 6.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 (\frac{8 + 6}{3} - (\frac{1^{3}}{3} + 1))$

Schritt 6.2.2.5.2

Addiere $8$ und $6$ .

$2 (\frac{14}{3} - (\frac{1^{3}}{3} + 1))$

Schritt 6.2.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} + 1))$

Schritt 6.2.2.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{3}{3}))$

Schritt 6.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{14}{3} - \frac{1 + 3}{3})$

Schritt 6.2.2.9

Addiere $1$ und $3$ .

$2 (\frac{14}{3} - \frac{4}{3})$

Schritt 6.2.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{14 - 4}{3}$

Schritt 6.2.2.11

Subtrahiere $4$ von $14$ .

$2 (\frac{10}{3})$

Schritt 6.2.2.12

Kombiniere $2$ und $\frac{10}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 10}{3}$

Schritt 6.2.2.13

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{20}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{20}{3}$

Dezimalform:

$6.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$6 \frac{2}{3}$

Schritt 8