Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Schritt 2

Stelle $4 x^{2}$ und $9$ um.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + 4 x^{2}} d x$

Schritt 3

Faktorisiere $4$ aus $9 + 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4$ aus $9$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Schritt 3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Schritt 3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + x^{2})} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{\frac{9}{4} + x^{2}} d x$

Schritt 5

Schreibe $\frac{9}{4}$ als ${(\frac{3}{2})}^{2}$ um.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3}{2}$ zu dividieren.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} 1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Schritt 7.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3}{2}$ zu dividieren.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (x \frac{2}{3})]_{0}^{t}$

Schritt 7.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x \cdot 2}{3})]_{0}^{t}$

Schritt 7.1.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot x}{3})]_{0}^{t}$

Schritt 7.1.6

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\arctan (\frac{2 x}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$

Schritt 7.1.7

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}}{4}$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}$ bei $t$ und $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3}) - \frac{2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{3})}{3}}{4}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{3})}{3}}{4}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3}}{4}$

Schritt 7.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Schritt 7.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Schritt 7.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{1})}{3}}{4}$

Schritt 7.2.2.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Schritt 7.2.2.4

Kombinieren.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 (\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.2.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.2.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 3 \frac{2 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.2.2.8

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2 \arctan (0)}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 3 (2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.2.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 6 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.2.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 7.2.2.10.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 \arctan (0)$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.2.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 (1)}}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.2.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.2.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 2 \arctan (0)}{1}}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.2.2.10.2.4

Dividiere $- 2 \arctan (0)$ durch $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.2.2.11

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{12}$

Schritt 7.2.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)$ und $12$ .

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Schritt 7.2.2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \arctan (\frac{2 t}{3})$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) - 2 \arctan (0)}{12}$

Schritt 7.2.2.12.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \arctan (0)$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))}{12}$

Schritt 7.2.2.12.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{12}$

Schritt 7.2.2.12.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.12.4.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 (6)}$

Schritt 7.2.2.12.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.2.2.12.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{t \to \infty} \frac{\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)}{6}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Ziehe den Term $\frac{1}{6}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{1}{6} lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)$

Schritt 8.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Schritt 8.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{1}{6} (\infty - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Schritt 8.4

Ersetze $t$ für $\frac{2 t}{3}$ und lasse $t$ sich $\infty$ nähern solange $lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3} = \infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Schritt 8.5

Der Grenzwert, wenn $t$ sich $\infty$ nähert, ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Schritt 8.6

Berechne den Grenzwert von $\arctan (0)$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - \arctan (0))$

Schritt 8.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.7.1.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - 0)$

Schritt 8.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} + 0)$

Schritt 8.7.2

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 8.7.3

Multipliziere $\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Schritt 8.7.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{6 \cdot 2}$

Schritt 8.7.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{π}{12}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{12}$

Dezimalform:

$0.26179938 \dots$