Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Schritt 1.2

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- \frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} 2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{x}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{x}}$ und $2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 3.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Berechne $2 t^{\frac{1}{2}}$ bei $x$ und $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1}{\sqrt{x}}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 2}{\sqrt{x}}$