Analysis Beispiele

$- 5 y^{3} = - 2 x - x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 5 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 2 x - x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$- 15 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 15 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x - x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- 2 - \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- 2 - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 - (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 2 - (x y' + y)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 - (x y') - y$

Schritt 3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 - x y' - y$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$- x y' - y - 2$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 15 y^{2} y' = - x y' - y - 2$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $x y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 15 y^{2} y' + x y' = - y - 2$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 15 y^{2} y' + x y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 15 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 15 y^{2}) + x (y') = - y - 2$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' (- 15 y^{2}) + y' (x) = - y - 2$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 15 y^{2}) + y' (x)$ heraus.

$y' (- 15 y^{2} + x) = - y - 2$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 15 y^{2} + x) = - y - 2$ durch $- 15 y^{2} + x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 15 y^{2} + x) = - y - 2$ durch $- 15 y^{2} + x$ .

$\frac{y' (- 15 y^{2} + x)}{- 15 y^{2} + x} = \frac{- y}{- 15 y^{2} + x} + \frac{- 2}{- 15 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 15 y^{2} + x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 15 y^{2} + x)}{- 15 y^{2} + x} = \frac{- y}{- 15 y^{2} + x} + \frac{- 2}{- 15 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{- 15 y^{2} + x} + \frac{- 2}{- 15 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y - 2}{- 15 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (y) - 2}{- 15 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y' = \frac{- (y) - 1 (2)}{- 15 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (2)$ heraus.

$y' = \frac{- (y + 2)}{- 15 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.3.5

Schreibe $- (y + 2)$ als $- 1 (y + 2)$ um.

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{- 15 y^{2} + x}$

Schritt 5.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 15 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{- (15 y^{2}) + x}$

Schritt 5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{- (15 y^{2}) - 1 (- x)}$

Schritt 5.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (15 y^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{- (15 y^{2} - x)}$

Schritt 5.3.3.9

Schreibe $- (15 y^{2} - x)$ als $- 1 (15 y^{2} - x)$ um.

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{- 1 (15 y^{2} - x)}$

Schritt 5.3.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{- 1 (15 y^{2} - x)}$

Schritt 5.3.3.11

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y + 2}{15 y^{2} - x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 2}{15 y^{2} - x}$