Analysis Beispiele

$5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

Schritt 1

Schreibe $5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ als Funktion.

$f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 5 x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 \int x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2}) d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x (- x^{2}) d x$

Schritt 6.2

Stelle $x$ und $- 1$ um.

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x \cdot x^{2} d x$

Schritt 6.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 \int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Schritt 6.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$5 \int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Schritt 6.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Schritt 6.7

Addiere $2$ und $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Schritt 6.8

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x \cdot x^{2}) d x$

Schritt 6.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x^{1} x^{2}) d x$

Schritt 6.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{1 + 2} d x$

Schritt 6.11

Addiere $1$ und $2$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{3} d x$

Schritt 6.12

Stelle $x^{\frac{3}{2}}$ und $- x^{3}$ um.

$5 \int - x^{3} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$5 (\int - x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (- \int x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 11.1.2

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ .

$F (x) =$ $5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$