Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}}{\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$\frac{\frac{lim_{x \to - 10} 1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 10$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$\frac{\frac{1}{- lim_{x \to - 10} 9 x - lim_{x \to - 10} 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.2.1.5

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 10$ annähert.

$\frac{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.2.1.7

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{87}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 10$ annähert.

$\frac{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 10$ für $x$ .

$\frac{\frac{1}{- 9 \cdot - 10 - 1 \cdot 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{90 - 1 \cdot 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\frac{1}{90 - 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Subtrahiere $3$ von $90$ .

$\frac{\frac{1}{87} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 - 1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{\frac{0}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.2.3.4

Dividiere $0$ durch $87$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$\frac{0}{\frac{lim_{x \to - 10} 1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 10$ annähert.

$\frac{0}{\frac{1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.3.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$\frac{0}{\frac{1}{- lim_{x \to - 10} 9 x - lim_{x \to - 10} 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.3.1.5

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.3.1.6

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 10$ annähert.

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.3.1.7

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{81}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 10$ annähert.

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 10$ für $x$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 \cdot - 10 - 1 \cdot 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{90 - 1 \cdot 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{0}{\frac{1}{90 - 9} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Subtrahiere $9$ von $90$ .

$\frac{0}{\frac{1}{81} - \frac{1}{81}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{0}{\frac{1 - 1}{81}}$

Schritt 1.1.3.3.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{\frac{0}{81}}$

Schritt 1.1.3.3.4

Dividiere $0$ durch $81$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}}{\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}} = lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe $\frac{1}{- 9 x - 3}$ als ${(- 9 x - 3)}^{- 1}$ um.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [{(- 9 x - 3)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = - 9 x - 3$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 9 x - 3$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [- 9 x - 3] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 3] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 9 x - 3$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 3] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 9 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.3.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.3.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.3.7

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.3.8

Addiere $- 9$ und $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} \cdot - 9 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.3.9

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 {(- 9 x - 3)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.4

Da $- \frac{1}{87}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{87}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 {(- 9 x - 3)}^{- 2} + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 \frac{1}{{(- 9 x - 3)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.5.2.1

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{{(- 9 x - 3)}^{2}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(- 9 x - 3)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.5.2.2

Addiere $\frac{9}{{(- 9 x - 3)}^{2}}$ und $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(- 9 x - 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.5.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9 x - 3$ heraus.

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Schritt 1.3.5.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9 x$ heraus.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(3 (- 3 x) - 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.5.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(3 (- 3 x) + 3 (- 1))}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.5.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 3 x) + 3 (- 1)$ heraus.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(3 (- 3 x - 1))}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.5.3.2

Wende die Produktregel auf $3 (- 3 x - 1)$ an.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{3^{2} {(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.5.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{9 {(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{9 {(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Schreibe $\frac{1}{- 9 x - 9}$ als ${(- 9 x - 9)}^{- 1}$ um.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [{(- 9 x - 9)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = - 9 x - 9$ .

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Schritt 1.3.7.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 9 x - 9$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [- 9 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.7.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.7.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 9 x - 9$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 9 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.7.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.7.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.7.6

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.7.7

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.7.8

Addiere $- 9$ und $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} \cdot - 9 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.7.9

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{9 {(- 9 x - 9)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Schritt 1.3.8

Da $- \frac{1}{81}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{81}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{9 {(- 9 x - 9)}^{- 2} + 0}$

Schritt 1.3.9

Vereinfache.

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Schritt 1.3.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{9 \frac{1}{{(- 9 x - 9)}^{2}} + 0}$

Schritt 1.3.9.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.9.2.1

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{{(- 9 x - 9)}^{2}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(- 9 x - 9)}^{2}} + 0}$

Schritt 1.3.9.2.2

Addiere $\frac{9}{{(- 9 x - 9)}^{2}}$ und $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(- 9 x - 9)}^{2}}}$

Schritt 1.3.9.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.9.3.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9 x - 9$ heraus.

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Schritt 1.3.9.3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9 x$ heraus.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(9 (- x) - 9)}^{2}}}$

Schritt 1.3.9.3.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(9 (- x) + 9 (- 1))}^{2}}}$

Schritt 1.3.9.3.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (- x) + 9 (- 1)$ heraus.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(9 (- x - 1))}^{2}}}$

Schritt 1.3.9.3.2

Wende die Produktregel auf $9 (- x - 1)$ an.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{9^{2} {(- x - 1)}^{2}}}$

Schritt 1.3.9.3.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{81 {(- x - 1)}^{2}}}$

Schritt 1.3.9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $81$ .

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Schritt 1.3.9.4.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9 (1)}{81 {(- x - 1)}^{2}}}$

Schritt 1.3.9.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.9.4.2.1

Faktorisiere $9$ aus $81 {(- x - 1)}^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9 (1)}{9 (9 {(- x - 1)}^{2})}}$

Schritt 1.3.9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9 \cdot 1}{9 (9 {(- x - 1)}^{2})}}$

Schritt 1.3.9.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{1}{9 {(- x - 1)}^{2}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to - 10} \frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}} (9 {(- x - 1)}^{2})$

Schritt 1.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 1.5.1

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9}{{(- 3 x - 1)}^{2}} {(- x - 1)}^{2}$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $\frac{9}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$ und ${(- x - 1)}^{2}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 {(- x - 1)}^{2}}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$9 lim_{x \to - 10} \frac{{(- x - 1)}^{2}}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$9 \frac{lim_{x \to - 10} {(- x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(- x - 1)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$9 \frac{{(lim_{x \to - 10} - x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 10$ annähert.

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(- 3 x - 1)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 10} - 3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- lim_{x \to - 10} 3 x - lim_{x \to - 10} 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 1)}^{2}}$

Schritt 2.9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 10$ annähert.

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 10$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 10$ für $x$ .

$9 \frac{{(10 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 10$ für $x$ .

$9 \frac{{(10 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$9 \frac{{(10 - 1)}^{2}}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$9 \frac{9^{2}}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$9 \frac{81}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 10$ .

$9 \frac{81}{{(30 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$9 \frac{81}{{(30 - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $1$ von $30$ .

$9 \frac{81}{29^{2}}$

Schritt 4.2.4

Potenziere $29$ mit $2$ .

$9 (\frac{81}{841})$

Schritt 4.3

Multipliziere $9 (\frac{81}{841})$ .

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $9$ und $\frac{81}{841}$ .

$\frac{9 \cdot 81}{841}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $81$ .

$\frac{729}{841}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{729}{841}$

Dezimalform:

$0.86682520 \dots$