Analysis Beispiele

$\int_{0}^{5} {(x - 2)}^{2} + 1 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{5} {(x - 2)}^{2} d x + \int_{0}^{5} d x$

Schritt 2

Sei $u = x - 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 2$ ein.

$u_{lower} = 0 - 2$

Schritt 2.3

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 2$ ein.

$u_{upper} = 5 - 2$

Schritt 2.5

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$u_{upper} = 3$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 3$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 2}^{3} u^{2} d u + \int_{0}^{5} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 2}^{3} + \int_{0}^{5} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 2}^{3} + x]_{0}^{5}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $3$ und $- 2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + x]_{0}^{5}$

Schritt 5.2

Berechne $x$ bei $5$ und $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $27$ .

$\frac{27}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Schritt 5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{1} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Schritt 5.3.3.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$9 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Schritt 5.3.4

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$9 - \frac{1}{3} \cdot - 8 + (5) + 0$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$9 + 8 (\frac{1}{3}) + (5) + 0$

Schritt 5.3.6

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{3}$ .

$9 + \frac{8}{3} + (5) + 0$

Schritt 5.3.7

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} + (5) + 0$

Schritt 5.3.8

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} + (5) + 0$

Schritt 5.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 \cdot 3 + 8}{3} + (5) + 0$

Schritt 5.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.10.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{27 + 8}{3} + (5) + 0$

Schritt 5.3.10.2

Addiere $27$ und $8$ .

$\frac{35}{3} + (5) + 0$

Schritt 5.3.11

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{35}{3} + 5$

Schritt 5.3.12

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.3.13

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{35 + 5 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.3.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.15.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{35 + 15}{3}$

Schritt 5.3.15.2

Addiere $35$ und $15$ .

$\frac{50}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{50}{3}$

Dezimalform:

$16.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$16 \frac{2}{3}$

Schritt 7