Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \ln (1 - x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (1 - x)$ und $d v = 1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

Schritt 2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{x}{1 - x} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $\int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$ mit $1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Schritt 4.2

Stelle $1$ und $- x$ um.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{- x + 1} d x$

Schritt 5

Dividiere $x$ durch $- x + 1$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

Schritt 8

Sei $u = - x + 1$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = - x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 8.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 8.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x + 1$ ein.

$u_{lower} = - 0 + 1$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 8.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 8.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x + 1$ ein.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1 + 1$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = - 1 + 1$

Schritt 8.5.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 8.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 8.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Schritt 12

Kombiniere $\ln (1 - x) x]_{0}^{1}$ und $- x]_{0}^{1}$ .

$\ln (1 - x) x - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $\ln (1 - x) x - x$ bei $1$ und $0$ .

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Schritt 13.2

Berechne $\ln (| u |)$ bei $0$ und $1$ .

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 13.3

Vereinfache.

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Schritt 13.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (1 - 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 13.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 13.3.3

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 13.4

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 14

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert