Analysis Beispiele

$f (x) = \arctan (x^{2})$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

Schritt 1.1.2.3.2

Kombiniere $\frac{2}{1 + x^{4}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{4} + 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $x^{4} + 1$ mit $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.6.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Subtrahiere $4 x^{4}$ von $x^{4}$ .

$2 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache.

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Schritt 1.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.7.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7.3

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{4} + 2$ heraus.

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Schritt 1.2.7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{4}$ heraus.

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{4}$ heraus.

$\frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7.5

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7.7

Schreibe $- (3 x^{4} - 1)$ als $- 1 (3 x^{4} - 1)$ um.

$\frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $3 x^{4} - 1$ durch $1$ .

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$3 x^{4} - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{4} = 1$

Schritt 2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{4} = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{4} = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Schritt 2.3.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Schritt 2.3.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 2.3.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 2.3.5.4.2

Potenziere $\sqrt[4]{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 2.3.5.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Schritt 2.3.5.4.4

Addiere $1$ und $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Schritt 2.3.5.4.5

Schreibe ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ als $3$ um.

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Schritt 2.3.5.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Schritt 2.3.5.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Schritt 2.3.5.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 2.3.5.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.5.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 2.3.5.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.3.5.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Schritt 2.3.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.5.1

Schreibe ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ als $\sqrt[4]{3^{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Schritt 2.3.5.5.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 2.3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 2.3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 2.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ in $f (x) = \arctan (x^{2})$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}})$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.2.1

Schreibe ${\sqrt[4]{27}}^{2}$ als $\sqrt{27}$ um.

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{27}$ als $27^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{2}}{3^{2}})$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{3^{2}})$

Schritt 3.1.2.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2}{4}}}{3^{2}})$

Schritt 3.1.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 (1)}{4}}}{3^{2}})$

Schritt 3.1.2.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Schritt 3.1.2.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Schritt 3.1.2.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})$

Schritt 3.1.2.2.1.5

Schreibe $27^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{27}$ um.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{27}}{3^{2}})$

Schritt 3.1.2.2.2

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.1.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{2}})$

Schritt 3.1.2.2.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{2}})$

Schritt 3.1.2.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3^{2}})$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

Schritt 3.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 3.1.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 (\sqrt{3})}{9})$

Schritt 3.1.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Schritt 3.1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Schritt 3.1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 3.1.2.4

Der genau Wert von $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{π}{6}$

Schritt 3.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ in $f (x) = \arctan (x^{2})$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Schritt 3.3

Ersetze $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ in $f (x) = \arctan (x^{2})$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Schritt 3.3.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}))$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (1 (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}))$

Schritt 3.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}})$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.3.1

Schreibe ${\sqrt[4]{27}}^{2}$ als $\sqrt{27}$ um.

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Schritt 3.3.2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{27}$ als $27^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{2}}{3^{2}})$

Schritt 3.3.2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{3^{2}})$

Schritt 3.3.2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2}{4}}}{3^{2}})$

Schritt 3.3.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.3.2.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 (1)}{4}}}{3^{2}})$

Schritt 3.3.2.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Schritt 3.3.2.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Schritt 3.3.2.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})$

Schritt 3.3.2.3.1.5

Schreibe $27^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{27}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{27}}{3^{2}})$

Schritt 3.3.2.3.2

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.3.2.3.2.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{2}})$

Schritt 3.3.2.3.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{2}})$

Schritt 3.3.2.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3^{2}})$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.4.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

Schritt 3.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 3.3.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 (\sqrt{3})}{9})$

Schritt 3.3.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.4.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Schritt 3.3.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Schritt 3.3.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 3.3.2.5

Der genau Wert von $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{π}{6}$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ in $f (x) = \arctan (x^{2})$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.85983568$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (3 {(- 0.85983568)}^{4} - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 0.85983568$ mit $4$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (3 \cdot 0.54659022 - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0.54659022$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (1.63977068 - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $1.63977068$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 0.85983568$ mit $4$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{(0.54659022 + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $0.54659022$ und $1$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{1.54659022}^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $1.54659022$ mit $2$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{2.39194133}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.63977068$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{1.27954136}{2.39194133}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $1.27954136$ durch $2.39194133$ .

$f'' (- 0.85983568) = - 1 \cdot 0.53493843$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.53493843$ .

$f'' (- 0.85983568) = - 0.53493843$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.53493843$ .

$- 0.53493843$

Schritt 5.3

Bei $- 0.85983568$ , die zweite Ableitung ist $- 0.53493843$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$f'' (0) = 2$

Schritt 6.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (0) = 2$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 6.3

Bei $0$ ist die zweite Ableitung $2$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.85983568$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (3 {(0.85983568)}^{4} - 1)}{{({(0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.85983568$ mit $4$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (3 \cdot 0.54659022 - 1)}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0.54659022$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (1.63977068 - 1)}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $1.63977068$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $0.85983568$ mit $4$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{(0.54659022 + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $0.54659022$ und $1$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{1.54659022}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $1.54659022$ mit $2$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{2.39194133}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.63977068$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{1.27954136}{2.39194133}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $1.27954136$ durch $2.39194133$ .

$f'' (0.85983568) = - 1 \cdot 0.53493843$

Schritt 7.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.53493843$ .

$f'' (0.85983568) = - 0.53493843$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.53493843$ .

$- 0.53493843$

Schritt 7.3

Bei $0.85983568$ , die zweite Ableitung ist $- 0.53493843$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ .

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Schritt 9