Analysis Beispiele

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $6 x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 - x^{2}}} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 + x (- x)}} d x$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 6 + x (- x)$ heraus.

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x (6 - x)}} d x$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot 6 + x (- x)$

Schritt 2.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 \cdot x + x (- x)$

Schritt 2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 \cdot x - x \cdot x$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.4.1

Bewege $x$ .

$6 x - (x \cdot x)$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 x - x^{2}$

Schritt 2.1.5

Stelle $6 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 6 x$

Schritt 2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

Schritt 2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$d = - 3$

Schritt 2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Schritt 2.5.2.1.3

Dividiere $36$ durch $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Schritt 2.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $0$ und $9$ .

$e = 9$

Schritt 2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - 3)}^{2} + 9$ ein.

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{- {(x - 3)}^{2} + 9}} d x$

Schritt 3

Sei $u = x - 3$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 3$ ein.

$u_{lower} = 3 - 3$

Schritt 3.3

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 3$ ein.

$u_{upper} = 6 - 3$

Schritt 3.5

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$u_{upper} = 3$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 9}} d u$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 3^{2}}} d u$

Schritt 4.2

Stelle $- u^{2}$ und $3^{2}$ um.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (\frac{u}{3})$

$\arcsin (\frac{u}{3})]_{0}^{3}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\arcsin (\frac{u}{3})$ bei $3$ und $0$ .

$(\arcsin (\frac{3}{3})) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arcsin (\frac{3}{3}) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Schritt 6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 (0)}{3})$

Schritt 6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{1})$

Schritt 6.2.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - \arcsin (0)$

Schritt 7.1.2

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Schritt 7.2

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{2}$

Dezimalform:

$1.57079632 \dots$

Schritt 9