Analysis Beispiele

$e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$

Schritt 1

Schreibe $e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$ als Funktion.

$f (x) = e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x}) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 3 e^{- 2 x}) d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\int e^{x} + e^{x} (- 3 e^{- 2 x}) d x$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int e^{x} - 3 e^{x} e^{- 2 x} d x$

Schritt 4.4

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{- 2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1

Bewege $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{x} - 3 (e^{- 2 x} e^{x}) d x$

Schritt 4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{x} - 3 e^{- 2 x + x} d x$

Schritt 4.4.3

Addiere $- 2 x$ und $x$ .

$\int e^{x} - 3 e^{- x} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int e^{x} d x + \int - 3 e^{- x} d x$

Schritt 6

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{x} + C + \int - 3 e^{- x} d x$

Schritt 7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$e^{x} + C - 3 \int e^{- x} d x$

Schritt 8

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 8.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{x} + C - 3 \int - e^{u} d u$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{x} + C - 3 (- \int e^{u} d u)$

Schritt 10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$e^{x} + C + 3 \int e^{u} d u$

Schritt 11

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{x} + C + 3 (e^{u} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

$e^{x} + 3 e^{u} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$ .

$F (x) =$ $e^{x} + 3 e^{- x} + C$