Analysis Beispiele

$\sqrt{\frac{x}{y}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{x}{y}}$ als ${(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 8

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{y \cdot 2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{1}{2 \cdot y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{1}{2 y}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$\frac{1}{2 y} {(\frac{y}{x})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 12.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{x}$ an.

$\frac{1}{2 y} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3

Vereine die Terme

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Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 y}$ mit $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 y x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.2

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 y x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.3

Multipliziere $y$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.3.3.1

Bewege $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (y^{- \frac{1}{2}} y) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.3.2

Mutltipliziere $y^{- \frac{1}{2}}$ mit $y$ .

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Schritt 12.3.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 (y^{- \frac{1}{2}} y^{1}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2 y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.3.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$