Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (\frac{x}{4})}{x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{x}{4})}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sin (\frac{x}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$4 \frac{\sin (lim_{x \to 0} \frac{x}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \frac{\sin (\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$4 \frac{\sin (\frac{1}{4} \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$4 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$4 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{x}{4})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{4}) \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\cos (\frac{x}{4})$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$ mit $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}}{1}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{4})}{4} \cdot 1$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$ mit $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \cos (\frac{x}{4})$

Schritt 3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$4 (\frac{1}{4}) \cos (lim_{x \to 0} \frac{x}{4})$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$ mit $1$ .

$\cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$\cos (0)$

Schritt 5.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1$