Analysis Beispiele

Let $h (x) = \frac{e^{x}}{x - 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x e^{x} - 1 e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.2.1

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$\frac{x e^{x} - e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $e^{x}$ von $- e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.4

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x - 2 e^{x}$ heraus.

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Schritt 1.1.4.4.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 2 e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.4.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ heraus.

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $h (x)$ nach $x$ ist $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$e^{x} (x - 2) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 2.3.2.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 2.3.2.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.3.2.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.3.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 2$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4

Werte $\frac{e^{x}}{x - 1}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$\frac{e^{2}}{(2) - 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{e^{2}}{1}$

Schritt 4.1.2.2

Dividiere $e^{2}$ durch $1$ .

$e^{2}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{e^{1}}{(1) - 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{e^{1}}{0}$

Schritt 4.2.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(2, e^{2})$

Schritt 5